Betragsungleichung quadratisch |x^2 + 4x + 3| > |x + 3|

Question

Hallo ich versuche die Aufgabe: |x^2 + 4x + 3| > |x + 3| zu lösen.

Kann mir bitte jemand erklären wie das geht? Ich bekomme bei der Quadratischen Gleichung

x^2 + 4x + 3 ,  x > 3 und x > 1 raus und wenn ich bei |x + 3| eine Fallunterscheidung durchführe bekomme ich in beiden Fällen x > -3. Ab diesem Punkt komme ich nicht weiter.

Comments

Man kann die Ungleichung auch nach dem bekannten Schema
lösen.
Die Nullstellen der linken Funktion sind
x = -1 und x = -3 ( rechts auch x =- 3 )

Es handelt sich bei
x² + 4x + 3
um eine nach oben geöffnete Parabel was bedeutet
x <- 3 : positiver Wert
-3 < x < -1 : negativer Wert
x > -1 : positiver Wert

~plot~ x^2 + 4*x + 3 ~plot~

1.Fall : x < -3  : x² + 4x + 3 > ( x + 3 ) * ( -1 )
2.Fall : -3 < x < -1 : ( x² + 4x + 3 ) * (-1 ) > x + 3
3.Fall : x > -1 : x² + 4x + 3 > x + 3

mfg Georg

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Hi georg, schön das du auch dabei bist.

Ich habe dem Fragesteller mal Fall1 und Fall3 beantwortet, siehe unten.

Ich selbst würde dich aber gerne bezüglich des 2 Falles Fragen, wie würdest du das rechnen?

Fall2:

2.Fall : -3 < x < -1 : ( x² + 4x + 3 ) * (-1 ) > x + 3 

x^2+5x+6<0

PQ=-3 und -2

Aber dann wäre 

-3 und -2 teil der Lösung?

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Wieso sollten bei  x²+5x+6 < 0

die Nullstellen des Terms ( Term = 0 ! )   "Teil der Lösung"  sein?

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x² + 5x + 6 < 0

Du hast berechnet
x^2 + 5x + 6 = 0

und als Nullstellen
x = -3
und
x = -2
herausbekommen

Die sogenannte " Punktprobe " mit irgendeinem Wert zwischen
-3 und -2 z.B. x = -2.5
f ( -2.5 ) = -0.25 ( also kleiner 0 )

Ausgehend von
x^2 + 5x + 6 < 0
ist die Lösung
-3 < x < -2

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
2.Fall  : -3 < x < -1
ergibt sich
-3 < x < -2

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Zitat:

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung 

2.Fall  : -3 < x < -1 
ergibt sich 
-3 < x < -2
Richtig, aber ich habe die Lösungen mal überprüft und wolframalpha zeigt als Lösung:(-inf, -3) und (0,inf+)Daher die Frage: warum wird als Lösung nich zusätzlich -3 < x < -2 mit angegeben?

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Ah da habe ich mich glatt verguckt!

Also als Zusammenfassung:

Die Lösungen sind:

Fall1: x<-3

Fall2 -3<x<-2

Fall3: x>0

Answer 1

Die linke Seite lässt sich vereinfachen zu ιx+3ι·ιx+1ι. Nach Division durch ιx+3ι bleibt noch ιx+1ι>1 und die Fälle die zu betrachten sind lauten Fall1 x+1 > 0 und Fall 2 x+1<0.

Fall1) x>-1 und x>0 ergibt x>0

Fall 2)  x<-1 und x<0 ergibt x<-1

Lösungsmenge. R außer [-1;0]

Comments

Für Fall 2  ιx+1ι>1 ergibt sich doch -(x+1)>1 --> x<-2 oder?

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Es tut mir leid, meine Antwort war falsch.

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wenn x Element von R \ [0; -2] dann stimmt es aber auch irgendwie nicht denn wenn ich x=-3 einsetze dann würde die ungleichung auch nicht stimmen, dann steht da nach lösen 0>0. Eine idee? Lösung ist x Element von R \ [0; -3]

Doch wie komme ich da mit Rechenschritten hin.

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Es ergeben sich drei Fälle:

F1: x<-3

F2:-3<x<-1

F3: x>-1

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Nicht zur Lösungsmenge gehören x = 3 und x aus [-2;0]

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Schon wieder falsch. Ich meinte x = - 3 gehört nicht zur Lösungsmenge.

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Wie kommst du zu den -3 Fall?

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Rechnung für Fall1:

F1 x<-3

|x^2+4x+3|>|x+3|

-x^2-4x-3>-x-3

x(x+3)<0

x1=0 x2=-3

Somit ist

L1(-inf,-3)

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Ok danke, voll Fehlerträchtig diese Lösungsverfahren :/

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Rechnung für Fall3:

F3x>-1

|x²+4x+3|>|x+3|

x²⁺4x+3>-x+3

x(x+3)>0

x1=0 x2=-3

Somit ist

L3(0,inf+)

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Hallo house,
leider hast du in deinen Berechnungen Fehler.

Bei Fall 1 ist ( x^2 + 4x + 3 ) für x < -3  POSITIV
siehe meinen Graph oben

es ergibt sich
1.Fall : x < -3  : x² + 4x + 3 > ( x + 3 ) * ( -1 )

x² + 4x + 3 > - x - 3
x^2 + 5x < -6  | ich löse einmal mit der quadratischen Ergänzung
x^2 + 5x + 2.5^2 > -6 + 6.25
( x + 2.5 )^2 > 0.25  | Wurzelziehen
x + 2.5 > 0.5
x > -2
oder
x + 2.5 < -0.5
x < -3

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung ergibt sich
x < -3

Answer 2

man kann in diesem Spezialfall auch mit zwei Fällen rechnen (vgl. "beste Antwort" mit Korrektur):

|x² + 4x + 3| > |x + 3| 

⇔ | (x+1) • (x+3) | > |x + 3| 

⇔ | x+1 | • | x+3 | > |x + 3|  (man kann durch |x + 3| ≠ 0 dividieren) 

1. Fall. x+3 = 0

0 > 0 ist falsch →  x = -3 ist keine Lösung

2. Fall:   x+3 ≠ 0

 | x +1 | > 1

⇔  x+1 > 1  oder x+1 < -1   ⇔   x > 0 oder x < -2

L  = ] - ∞ ; -3 [ ∪ ] -3 ; -2 [ ∪ ] 0 ; ∞ [ 

Gruß Wolfgang