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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x ∈ R, die die Ungleichung |x^2 − 4x + 3| ≤ |x^2 − 4| erfüllen.


Problem/Ansatz:

Wie fange ich bei sowas an?

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Alternativ gilt: 0 ≤ (x2 - 4)2 - (x2 - 4x + 3)2 = (4x - 7)·(2x2 - 4x -1).
Nun Nullstellen berechnen und der Größe nach sortieren.

2 Antworten

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x^2-4x+3 = (x-3)(x-1)

x^2-4 = (x+2)(x-2)

Fallunterscheidung:

1. Fall : x<-2

2. Fall: -2<=x<1

3. Fall: 1<=x<2

4.Fall: 2<=x<3

5. Fall: x >=3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx2+%E2%88%92+4x+%2B+3%7C+%E2%89%A4+%7Cx2+%E2%88%92+4%7C+

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x2-4x+3=x2-4 hat die Lösung x1=7/4.

-(x2-4x+3)=x2-4 hat die Lösungen x2/3=1±\( \sqrt{6} \)/2.

x1, x2 und x3 teilen die x-Achse in vier Intervalle. Mache in jedem Intervall eine Punktprobe.

Lösungsmenge: {x|1-√6/2<x<1+√6/2 ∨ x>7/4}

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Wie mache ich die Punktprobe?

<-m----|----m-----|----m-----|----m---->

       -0.22          1.75           2.22

z.B.m
-0.5
1.3
2
3

Die Kurve ist ein auf und ab zwischen
den Punkten.

|x^2 − 4x + 3| ≤ |x^2 − 4|
| x^2 − 4x + 3 - | x^2 − 4| ≤ 0

Punktprobe
Setze den Wert -0.5 in den Term ein
Falls das Ergebnis ≤ 0 ist dann
gehört dern Bereich -unendlich bis - 0.22
zur Lösungmenge.
( Hinweis : gehört er nicht )

gm-262.JPG

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