Gültigkeit der Betragsungleichung IabI ≤ ca^2 + \( \frac{1}{4c} \)b^2 beweisen für alle c>0.

Question

Beweisen Sie: Für alle c > 0 gilt:

IabI  ≤  ca²  + \( \frac{1}{4c} \)b²      

Jemand sagte mir, ich müsse eine Fallunterscheidung durchführen, aber auf der rechten Seite der Ungleichung kommen a und b ja auch nur quadriert vor (oder kann man dadurch in der Umformung freimütiger werden.... und wie umformen?)Für einen Ansatz wäre ich dankbar.

Comments

IabI  ≤  ca2  + \( \frac{1}{4c} \)b2      | * 4c

|4abc| ≤ 4c^2 a^2 + b^2

0 ≤ (2ac)^2 - |4abc| + b^2

Answer 1

Du kannst |ab| als |a|*|b| schreiben, ebenso a² als |a|*|a| und b² als |b|*|b|.

Wenn du nun substituierst:

|a|= g mit g>=0 und

|b|= h mit h>=0,

dann bist du die Beträge los und arbeitest nur noch mit nichtnegativen Zahlen g, h und c (wobei c sogar positiv ist).

Answer 2

IabI  ≤  ca2  + \( \frac{1}{4c} \)b2      | * 4c

|4abc| ≤ 4c^2 a^2 + b^2

0 ≤ (2ac)^2 - |4abc| + b^2

Falls ab>0

0 ≤ (2ac)^2 - 4abc + b^2 = (2ac - b)^2  ist als Quadrat nie kleiner als 0.

Falls ab<0
0 ≤ (2ac)^2 + 4abc + b^2 = (2ac + b)^2 ist als Quadrat nie kleiner als 0.