Betragsungleichung: Bestimmen Sie alle x ∈ R, die die Ungleichung |x^2 − 4x + 3| ≤ |x^2 − 4| erfüllen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x ∈ R, die die Ungleichung |x^2 − 4x + 3| ≤ |x^2 − 4| erfüllen.

Problem/Ansatz:

Wie fange ich bei sowas an?

Comments

Alternativ gilt: 0 ≤ (x² - 4)² - (x² - 4x + 3)² = (4x - 7)·(2x² - 4x -1).
Nun Nullstellen berechnen und der Größe nach sortieren.

Answer 1

x^2-4x+3 = (x-3)(x-1)

x^2-4 = (x+2)(x-2)

Fallunterscheidung:

1. Fall : x<-2

2. Fall: -2<=x<1

3. Fall: 1<=x<2

4.Fall: 2<=x<3

5. Fall: x >=3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx2+%E2%88%92+4x+%2B+3%7C+%E2%89%A4+%7Cx2+%E2%88%92+4%7C+

Answer 2

x²-4x+3=x²-4 hat die Lösung x₁=7/4.

-(x²-4x+3)=x²-4 hat die Lösungen x_2/3=1±\( \sqrt{6} \)/2.

x₁, x₂ und x₃ teilen die x-Achse in vier Intervalle. Mache in jedem Intervall eine Punktprobe.

Lösungsmenge: {x|1-√6/2<x<1+√6/2 ∨ x>7/4}

Comments

Wie mache ich die Punktprobe?

---

<-m----|----m-----|----m-----|----m---->

       -0.22          1.75           2.22

z.B.m
-0.5
1.3
2
3

Die Kurve ist ein auf und ab zwischen
den Punkten.

|x^2 − 4x + 3| ≤ |x^2 − 4|
| x^2 − 4x + 3 - | x^2 − 4| ≤ 0

Punktprobe
Setze den Wert -0.5 in den Term ein
Falls das Ergebnis ≤ 0 ist dann
gehört dern Bereich -unendlich bis - 0.22
zur Lösungmenge.
( Hinweis : gehört er nicht )