Grenzwert von \( { a }_{ n }=\sqrt { n+\sqrt { n } } -\sqrt { n-\sqrt { n } } \)

Question

In der Musterlösung hieß es:

$${ \sqrt { n+\sqrt { n }  } -\sqrt { n-\sqrt { n }  }  } = \frac { (\sqrt { n+\sqrt { n }  } -\sqrt { n-\sqrt { n }  }) *(\sqrt { n+\sqrt { n }  } +\sqrt { n-\sqrt { n }  } ) }{ \sqrt { n+\sqrt { n }  } +\sqrt { n-\sqrt { n }  }  } = $$ und jetzt kommt der Punkt den ich nicht verstehe: $$\frac { n+\sqrt { n } -n+\sqrt { n }  }{ \sqrt { n+\sqrt { n }  } +\sqrt { n-\sqrt { n }  }  }=\frac { 2\sqrt { n }  }{ \sqrt { n+\sqrt { n }  } +\sqrt { n-\sqrt { n }  }  } =\frac { \sqrt { n } *(2) }{ \sqrt { n } *(\sqrt { 1+\frac { 1 }{ n }  } +\sqrt { 1-\frac { 1 }{ n }  } ) } \overset { n\rightarrow \infty  }{ \longrightarrow  } 1.$$

Ich bekomme im Zähler für \( (\sqrt { n+\sqrt { n }  } -\sqrt { n-\sqrt { n }  }) *(\sqrt { n+\sqrt { n }  } +\sqrt { n-\sqrt { n }  }) \) nämlich nicht \( n+\sqrt { n } -n+\sqrt { n } \) raus, sondern \( n+\sqrt { n } -n-\sqrt { n } \); und dass ergibt 0.

Könnte mir jemand erklären, wie da \( n+\sqrt { n } -n+\sqrt { n } \) raus kommt?

Denn (a-b)*(a+b) ist doch = a*a + ab - ab - b*b = a*a + 0 - b*b = a² - b², und in der Musterlösung hieß es auch, dass \({ a }^{ 2 }=n+\sqrt { n }  \) und \({ b }^{ 2 }=n-\sqrt { n }\).

Answer 1

Hi,

Erstens
mit der dritten binomischen Formel
$$ (a-b) \cdot (a+b) = a^2-b^2 $$
folgt mit \( a = \sqrt{n+\sqrt{n}} \) und \( b = \sqrt{n-\sqrt{n}} \)
$$ a^2 = n + \sqrt{n} $$ und $$ b^2 = n - \sqrt{n} $$
Also \( a^2 - b^2 = (n + \sqrt{n}) - \left( n - \sqrt{n} \right) = 2 \sqrt{n} \)

Zweitens
$$ \sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}} = \sqrt{n} \left( \sqrt{1+\frac{\sqrt{n}}{n}}+\sqrt{1-\frac{\sqrt{n}}{n}} \right)  $$

Comments

Alles klar vielen Dank. Den zweiten Punkt hatte ich schon verstanden und den ersten Punkt habe ich jetzt dank den Klammern mehr verstanden.