Bruch integrieren: ∫ (4x-1)/(x-1)² dx in den Grenzen von 2 bis 3

Question

Man soll den Flächeninhalt von einem Graphen zu seiner Asymptote bilden, ich habe Polynomdivision gemacht und das Integral vom Rest gebildet:

\( \int \limits_{2}^{3} \frac{4 x-1}{(x-1)^{2}} d x \)

Bitte mit Erklärung lösen.

ich gehe davon aus das man partielle Integration machen muss, aber ich bin mir dann später nicht sicher wo ich die Grenzen einsetzten soll oder ob das was ich gemacht habe überhaupt richtig ist

Answer 1

Wenn es nur um die Lösung des Integrales geht :

Nutze die Partialbruchzerlegung:

Ansatz:

(4x-1)/((x-1)^2)=  A/(x-1) +B/((x-1)^2)

Lösung miitels Einsetzmethode:

4x-1=A(x-1) +B

x_1= 1        → 3=B

x_2=0(z.B.) -------->1= -A +3 ->A=4

------>es entstehen 2 Integrale:

= 4∫ 1/(x-1) dx + 3∫ 1/((x-1)^2) dx

die leicht zu lösen sind.

Lösung:

=4 *ln|x-1| - 3/(x-1) +C