Fläche zwischen zwei Kurven. Welcher Graph ist "oben"?

Question

ich lerne gerade Flächeninhalt zwischen zwei Kurven.

Ich habe jetzt eine Frage, die wahrscheinlich bestätigt, das Mathe nicht meins ist.

Ich weiß, dass man beide Fubktionen gleichsetzt, um die Schnittstellen zu bekommen.

Aber woher weiß ich, welche Funktion oben und welche unten ist?( ohne zu zeichnen)

Comments

...wobei ich deine Frage nicht unklug finde, zeigt sie doch, dass du begriffen hast worum es geht, nämlich darum vom Integral der "oberen" Funktion (rot) zwischen den Schnittpunkten das Integral der "unteren" Funktion (blau) zwischen den Schnittpunkten abzuziehen, um im Beispiel hier die grüne Fläche zu erhalten.

Weiter unten bei den Antworten erklären dir verschiedene Benutzer, warum es auch geht ohne zu wissen, welche Funktion die "obere" und welche die "untere" ist.

Answer 1

Berechne díe Werte beider Funktionen an einer Stelle zwischen den Schnittstellen.

Answer 2

wenn du wissen willst, welche Funktion in einem Intervall [ x₁ ; x₂ ]   "oben" verläuft, kannst du einfach einen x-Wert aus diesem Intervall in beide Funktionsgleichungen einsetzen. Die Funktion mit dem größeren Funktionswert liegt dann oben.

Beispiel:  f(x) = x² , g(x) = x im Intervall [ 0 ; 1 ]

f(0,4) = 0,16 und  g(x) = 0,4  →  g liegt oberhalb von f

 

Bei der Flächenberechnung kannst du aber auch einfach immer von einer Schnittstelle zur nächsten Schnittstelle | ∫ ( f(x) - g(x) ) dx | berechnen und die Teilergebnisse addieren. Wegen des Betrags ist es dann egal, welche Funktion oben liegt.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Das ist eigentlich egal

Du hast 2 Funktionen f(x) und g(x)

1. Bilde die Differenzfunktion

d(x) = f(x) - g(x)

2. Die Nullstellen der Differenzfuktion sind die Stellen der Schnittpunkte

f(x) = g(x) --> f(x) - g(x) = 0 --> d(x) = 0

Du erhältst dann die Schnittstellen

3. Berechne die Fläche zwischen zwei aufeinanderfolgender Schnittstellen über das Integral

A = ∫ (a bis b) d(x) dx = ...

Wenn dort ein positiver Wert herauskommt dann war f(x) die obere Funktion. Wenn dort ein negativer Wert heraus kommt, dann war g(x) die obere Funktion. Der Betrag ist in beiden Fällen die Fläche.

Comments

Hallo mathecoach,

weil es vor nicht allzulanger Zeit hier einmal ein Thema war

Du erhältst dann die Schnittstellen

kommt von erhalten. Also

Du erhältst dann die Schnittstellen

mfg Georg

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Ja. Danke für die Korrektur.

Answer 4

Das brauchst du eigentlich gar nicht zu wissen, vorausgesetzt du hast 2 aufeinanderfolgenden Schnittstellen a und b gefunden.

Rechne einfach

∫_a^b (f(x) -g(x)) dx = F(x) - G(x)  |_a^b = F(a) -G(a) - (F(b) - G(b)) 

Kommt ein positives Resultat raus, ist das der eingeschlossene Flächeninhalt und f ist oben.

Kommt ein negatives Resultat raus, lässt du das Minus einfach weg und hast  den eingeschlossenen Flächeninhalt und du weisst zudem, dass g oben ist.