gesamtkostenfunktion, betriebsoptimum, gewinnzone,..

Question

Hallo Mathefans, ich bitte um Hilfe..

Ein Betrieb produziert nach einer quadratischen Gesamtkostenfunktion. Dabei werden bei der Produktionsmnege 50 ME die Stückkosten 130 GE/ME erhoben. Der kleinste Wert 120 GE/ME der Stückkosten liegt bei 100 ME vo. Der Verkaufspreis beträgt 140 GE/ME.

Wie kann ich mich bei den ganzen Zahelne orientieren? Bitte um Hilfe

a. Ermittle die Gesamtkostenfunktion.

b. Wie groß ist der Gewinn im Betriebsoptimum?

c. Wie lautet die Gewinnzone?

d. Bestimme die gewinnmaximale Produktionsmenge und das Gewinnmaximum.

Danke an alle!

Answer 1

a)

Gesamtkosten  K(x) = ax² + bx + c

Stückkosten      k(x) = K(x) / x = ax + b + c / x   ,  k'(x) = a - c / x²

k(50) = 130         →          50a + b + c/50 = 130

k(100) = 120       →          100a + b + c/100 = 120

k'(100) = 0          →           a - c / 10000 = 0   →  c = 10000 a  

c in die oberen Gleichungen einsetzen ergibt ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a und b und dessen Auflösung die Kostenfunktion K(x)

[ Zur Kontrolle: a = 1/5 ∧ b = 80 ∧ c = 2000 ]

Der Rest sind Standardfragen. Da kannst du dich ja ggf. melden.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank Wolfgang, a hat super geklappt.

Bei den anderen Punkten stecke ich auch etwas fest.

Könnten Sie mir vielleicht Ratschhläge geben?

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b)

> Wie groß ist der Gewinn im Betriebsoptimum?

Keine Ahnung, wo der Unterschied zum Gewinnmaximum  (vgl d) liegen soll.

[ soviel zu "Standardfrage" :-) ]

c)

G(x) = E(x) - K(x) = p • x - K(x) = 140x - (1/5 • x² + 80x + 2000)

zusammenfassen

G(x) = 0,  Intervall zwischen den Nullstellen ist die Gewinnzone

d)

G(x)  aus c)

G'(x) = 0 setzen →  gewinnmaximale Menge  x_m

x_m in G(x) einsetzen →  G_max 

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Habe d. komplett geschafft!
Vielen Dank für ihre Hilfe und Zeit!

Einen schönen Abend noch!

Lg.

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dir auch einen schönen Abend

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Das Betriebsoptimum ist der Punkt der geringsten Stückkosten. In dieser Aufgabe bei x=100. Das Gewinnmaximum ist nicht das gleiche. Es liegt in dieser Aufgabe bei x=150.

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Habe es inzwischen auch bei Wikipedia nachgelesen. Kam mir vorher noch in keiner Aufgabe vor. Aber die Definition macht schon Sinn, wenn man man mit "optimal geringem Risiko" produzieren will. Der Begriff "Betriebsoptimum" macht - so definiert - weniger Sinn, wenn ein Betrieb mit gesicherten Aufträgen produziert. "Produktionsoptmum" wäre wohl sinnvoller. Aber Definition ist halt Definition.

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Tja, verstehe einer die Volkswirtschaftslehre.

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Laut  Wikipedia stammt der Begriff aus der Mikroökonomie, aber wer will schon in so kleinen Dimensionen denken :-)

Aber keine dummen Ausreden: ich hätte natürlich "nachschlagen" müssen.

Answer 2

zu a)  G(x) = ax^2 + bx + c   

Stückkosten    S(x) = ax + b + c/x

min der Stückkosten:  S ' (x) = 0

                              a  - c/ x^2 = 0

                        liegt bei x= 100

                      a - c / 10000 = 0

                           10000a - c = 0

                               c = 10000a

also S(x) = ax  + b     +  10000a  / x   

S(100)=120    S(50) = 130   gibt dann

100a + b + 1000000a / 100 = 120    und

50a  + b  +  500000a / 50 = 130

100a + b + 10000a = 120    und

50a  + b  +  10000a  = 130

10100a + b = 120 und
10050a + b = 130    untere minus obere

     - 50 a  =   10 
             a = -1/5    =  - 0,2
mit 10100a + b = 120 gibt das
    -2020 + b = 120
                   b=2140 
mit           c = 10000a  gibt es  c=2000
also

G(x) =  - 0,2x^2 + 2140 x  +  2000

Comments

gelöscht. XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Answer 3

K(x) = ax^2+bx+c

k(x) = ax+b+c/x
k'(x) = a-c/x^2

k(50)=130

k(100)=120

k'(100)=0

50a+b+c/50=130

100a+b+c/100=120

a-c/10000=0
10000a-c=0
c=10000a

...