Kostenfunktion: Produkt PRO
Eine Firma stellt fest, dass die beim Produkt PRO Fixkosten in Höhe von 3 GE hat; die variablen Kosten können durch die Funktion Kv(x) = 0.0125·x^3 - 0.0875·x^2 + 0.525·x (in GE) beschrieben werden. Sie verkauft PRO für 1.25 GE pro Mengeneinheit ME.
a) Berechnen Sie das Minimum der variablen Stückkosten exakt. Welchen Namen hat dieses Minimum in der Betriebswirtschaft noch?
Variable Stückkosten
kv(x) = Kv(x) / x
kv(x) = (0.0125·x^3 - 0.0875·x^2 + 0.525·x) / x
kv(x) = 0.0125·x^2 - 0.0875·x + 0.525
kv'(x) = 0.025·x - 0.0875 = 0
x = 3.5
Das ist das Betriebsminimum.
b) Berechnen Sie die variablen Grenzkosten und geben Sie deren Bedeutung an.
Kv'(x) = 0.0375·x^2 - 0.175·x + 0.525
Das sind auch die normalen Grenzkosten, bzw. was bei einer Ausbringungsmenge x gerade eine ME an Mehrkosten in GE verursachen würde.
c) Bestimmen Sie die Gewinnzone und den maximalen Gewinn mit dem GTR.
G(x) = E(x) - Kv(x) - Kf
G(x) = (1.25·x) - (0.0125·x^3 - 0.0875·x^2 + 0.525·x) - 3
G(x) = - 0.0125·x^3 + 0.0875·x^2 + 0.725·x - 3
Gewinnzone G(x) = 0
- 0.0125·x^3 + 0.0875·x^2 + 0.725·x - 3 = 0
x = 3.416707528 ∨ x = 10.36212222
Maximaler Gewinn G'(x) = 0
- 0.0375·x^2 + 0.175·x + 0.725 = 0
x = 7.311061507
G(7.311061507) = 2.092685322
d) Die Fixkosten konnten durch Neuerungen auf 2 GE gesenkt werden. Wird dadurch die Gewinnzone kleiner oder größer? Argumentieren Sie zuerst bevor Sie dies rechnerisch bestätigen.
Da die Fixkosten um 1 GE gesenkt werden wird der Graph der Gewinnfunktion um 1 GE nach oben verschoben. Dadurch wird die Gewinnzone größer.
G(x) = - 0.0125·x^3 + 0.0875·x^2 + 0.725·x - 2
Gewinnzone G(x) = 0
- 0.0125·x^3 + 0.0875·x^2 + 0.725·x - 2 = 0
x = 2.323368197 ∨ x = 10.95998968
e) Wie groß ist der maximale Gewinn nach Senkung der Fixkosten? Können Sie ihn angeben, ohne zu rechnen?
Da sich die Gewinnfunktion nur um 2 GE nach oben verschiebt ist der neue maximale Gewinn um genau 2 GE größer.
G(7.311061507) = 4.092685322
