Sei \( I = [1,3].\) Die Funktion \( f : I \rightarrow ℝ\) sei gegeben durch f(x)=x^3-12x+8

Question

\( f(x)={ x }^{ 3 }-12x+8.\)

1) Bestimmen Sie \( max\left\{ f\left( x \right) |x\in I \right\} \) und \(min\left\{ f\left( x \right) |x\in I \right\} \).

2) Bestimmen Sie \( f(I)\).

Muss man in der 1) einfach nur die Werte gegen \(+∞\) und \(-∞\) laufen lasen?

Und was ist in der 2) gemeint?

Answer 1

1) Du sollst das Maximum bzw. Minimum der Funktion auf dem angegebenen Definitionsbereich bestimmen.

2) \(f(I)\) ist eine Teilmenge der Zielmenge von \(f\) und wird als das Bild von \(I\) unter der Abbildung \(f\) verstanden.

Tipp: Mit 1) solltest du 2) direkt aufschreiben können.

Gruß

Comments

Vielen Dank erstmal. Also soll ich den Hoch- und Tiefpunkt berechnen und die Werte nehmen die zwischen 1 und 3 liegen?

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Du sollst rausfinden welchen maximalen und minimalen Wert f (x) annimmt für x zwischen 1 und 3 (inklusive). Extremwerte betrachten hilft aber ist nicht ausreichend.

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\( f'(x) = { 3x }^{ 2 } - 12 \) =>

3x² - 12 = 0 => 3x² = 12 => x = 2. Und die 2 liegt im Intervall.

In \( f''(x) = 6x \) eingesetzt ergibt es:

\( f''(2) = 12 >0 \) => In x = 2 existiert ein Minimum. Und ein Maximum gibt es nicht.

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Also den tiefsten Punkt hätten wir ja meine ich. Der liegt in f(2) = 8 - 24 + 8 = -8.

Ich würde um den höchsten Punkt zu berechnen noch die Ränder überprüfen:

f(1) = 1 - 12 + 8 = -3 und

f(3) = 27 - 36 + 8 = -1 =>

Den höchsten Wert erreicht die Funktion in \(I\) für x = 3, und den niedrigsten für x = 2.

Richtig? Es stimmt laut Plotlux.

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Ja das ist richtig. Das gesuchte Maximum ist also -1 und das Minimum -8.