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 Hallo liebe Mathematiker.

Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen. Ich muss zeigen, dass diese Folge konvergiert/ divergiert ohne die Binet Formel zu benutzen.. nur leider habe ich keine Idee..

Kann mir jemand einen Tipp geben oder  mir die Lösung aufschreiben, sodass ich es anhand dieser besser nachvollziehen kann?


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Tipp: Zeige per Induktion über \(n\), dass \(1+a_n-a_n^{\,2}=\dfrac{(-1)^n}{F_n^{\,2}}\) für alle \(n\ge0\) gilt.

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Monotoniekriterium ist nicht, weil \((a_n)\) nicht monoton ist. Das sieht man, wenn man die ersten paar Glieder hinschreibt, was Du offensichtlich nicht gemacht hast. Dabei ist das immer das erste.

Du kannst zeigen, dass \((a_n)\) eine Cauchyfolge ist, beginnend mit $$|a_{n+1}-a_n|=\left|\frac{F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2}{F_nF_{n-1}}\right|\le\frac{1}{n^2}\quad\text{fuer $n\ge1$}.$$

Einen Leipniz kenne ich nicht. :)

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