Question

Wie löst man die Binet Formel nach n auf?
Hallo,
ich bin gerade dabei meine W-Seminararbeit zu schreiben, dabei bin ich auf das Problem gestoßen, dass ich keinen Weg finde die Binet Formel nach n aufzulösen. Daher die Aufgabe:

Löse die Binet Formel $$f_{n} = ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}- (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n})$$ nach n auf.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war zunächst die Formel so umzuformen, dass ich das Gesetz $$\log{x-\log{y=\log{\frac{x}{y}}}}$$ benutzen kann:

$$\frac{\frac{f_{n}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}}{(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}} = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}}{(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}} -1$$

Dies scheiterte aber daran, dass durch das Teilen - 1 hinter dem Bruch stehen bleibt. Daher frage ich mich nun, ob es eine Möglichkeit gibt diese Gleichung nach n aufzulösen und wenn ja, wie.

Ich habe auch einmal versucht die Gleichung mit WolframAlpha zu lösen. WolframAlpha schafft es die Gleichung zu lösen, wenn man konkrete Werte einsetzt. Setzt man z.B. die 10946 für f_n ein, so erhält man 21, was die richtige Lösung ist. Leider gibt WolframAlpha keine allgemeine Formel oder einen Lösungsweg an, aber das zeigt, dass es wohl einen Lösungsweg gibt.

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Nimm nur den ersten Summanden und runde.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Wenn ich das richtig verstehe, kann ich den Term zu $$f_{n} = ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n})$$ für große n Runden, da $$(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}$$ gegen 0 geht.

Answer 1

Mit \( \varphi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}\) lautet die Binet Formel

$$ f_n = \frac{ \varphi^n- \frac{1}{\left(-\varphi\right)^n} } {\sqrt{5} } $$ Daraus folgt

$$ \sqrt{5} f_n = \varphi^n - \frac{1}{(-\varphi)^n} $$ und daraus $$ \varphi^n \sqrt{5} f_n = \varphi^{2n} - (-1)^n $$

mit \( z = \varphi^n \) folgt folgende quadratische Gleichung für \( n \)

$$ z^2 -\sqrt{5} f_n z - (-1)^n = 0 $$ Diese Gleichung hat die Lösungen

$$ z_{1,2} =\frac{  f_n \sqrt{5} \pm \sqrt{ 5 f_n^2 + 4(-1)^n } } {2} $$

D.h. $$ n = \frac{ \ln(z_{1,2}) }{ \ln{\varphi } } $$

D.h. man muss in der Lösungsformel nach geraden \( n \) und ungeraden \( n \) unterscheiden.

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Vielen Dank für den Lösungsweg.