Beweisen, dass v auch Eigenvektor von A^2 ist. Eigenwert von A^2?

Question

Es sein n ∈ ℕ. Eine Matrix A € Mat _{n x n} (ℝ) habe den Eigenwert λ, und v ∈ ℝⁿ \ {0} sein ein zugehöriger Eigenvektor.

Beweisen Sie, dass v auch ein Eigenvektor der Matrix A² ist, und geben Sie den zugehörigen Eigenwert an.

VG

Mathias Neumann

Answer 1

λ ist Eigenwert von A bedeutet, dass A*v=λ *v , wobei v der Eigenvektor ist.

Für die Matrix A^2 gilt nun:

(A^2)*v = A*(A*v) = A*(λ*v ) = λ *(A*v)=λ *λ*v =λ ^2*v

Somit ist v ein Eigenvektor von A^2 und der  zugehörige Eigenwert lautet  λ ^2.

Comments

Sehr danke, ich hab eine weitere Frage bitte! gehört zur gleichen Frage da oben ::

Eine Matrix A ∈ Mat_2x2 (ℝ) habe das Charakteristische Polynom P_A (X) = ( X-2 )( X+3 ) . Geben Sie das Charakterische Polynom der Matrix A² in faktorisierter Form an.