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Max legt einmalig eine Betrag von 8.580€ auf sein Sparbuch ein, das mit einem nominellen Zinssatz von 2,7% kontinuierlich verzinst wird. Wie gro? ist das durchschnittliche Guthaben zwischen dem 9. & 14. Jahr ab Beginn der Einzahlungen?


f(t)= 8580 * e ^c*t  = 8580 * e^0,027*t

a= 9 & b=14

  f = 1/14-9  f (8580 * e^0,027*t) dt

  f = 8580/5 f e^0,027*t

    = 8580/5  [ e^0,027*t / 0,027]

   = 8580/5 (532,7092311 - 342,4559343) ....

wo liegt mein Fehler, es kommt nicht das richtige heraus? :/

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Kn = K0 • qn     mit  q = 1 + p/100, hier  q = 1,027  [editiert: nicht 1,0027]

K9   =  8580 € • 1,0279

K10 =   8580 € • 1,02710 

K11 =   8580 € • 1,02711 

K12 =   8580 € • 1,02712

K13 =   8580 € • 1,02713

K14 =   8580 € • 1,02714

durchschnittliches Guthaben:    ( K14 + K13 + K12 + K12 + K10 + K9 ) /  6

Man könnte "zwischen" auch als Jahr 2010 - 2013 auffassen.

Gruß Wolfgang

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Das stimmt leider nicht, da kontinuierlich verzinst wird.

Kein Sparbuch wird kontinuierlch verzinst!  Es kann also nur "mit Zinseszins" gemeint sein.

Bin kein Kaufmann.

Ich habe gerade einmal nachgeschaut.
Nominalzins : Verzinsung ohne Zineszins ?

Beispiel
100 € zu 5 %
1. Jahr : 105 €
2.Jahr : 110 €
3.Jahr : 115 € usw

die Lösungen sind:
a) 11730,71
b) 11079,16
c) 9802,56
d) 11712,93
e) 16755,76

Rechnet man die Aufgabe nicht mit Hilfe des Integrals aus? :)

Welche Lösung gehört zu der Aufgabe ?

@Wolfgang
Kn = K0 • qn     mit  q = 1 + p/100, hier  q = 1,0027
sondern
Kn = K0 • qn     mit  q = 1 + p/100, hier  q = 1,027

Es muss natürlich 1,027 heißen.

Blöder Tippfehler und dann durch "Einfügen" ständig wiederholt.

Danke für den Hinweis Georg.

k ( t ) = k0 * 1.027^t

Stammfunktion
37.535 *  k0 * 1.027^t

Integral
[ 37.535 *  k0 * 1.027^t ]914 = 58322,81

Durchschnitt
58322,81 / 5 = 11664

~plot~  8580*1,027^{x} ; [[8|15|10800|13000]] ~plot~

Leider weigert sich der Plotter senkrechte Striche bei x = 9 und x = 14 zu zeichnen,
dann würde man sehen das es 5 jahre Differenz zwischen 9 und 14 sind.

durchschnittliche Guthaben zwischen dem 9. & 14. Jahr ab Beginn der Einzahlungen?

Vielleicht ist damit aber auch 9 und 15 gemeint ?  Ich rechne einmal.

Bei 9 und 15 kommt 11824 heraus.

Keine der bisher gefundenen Lösungen  stimmt mit einem
Lösungvorschlag genau überein.

Kontinuierliche Verzinsung geht mit der Fomel: K0*e^{i*t}

i= p/100 , hier: 0,027
@wolfgang
Das Ganze scheint auf eine Differentialgleichung hinauszulaufen.
siehe hier
http://www.math-kit.de/2003/content/FO-PB-XML-cob/folgen//Manifest26/verzinsung.html

k0 * e^{0.027*t}

Ich hatte mich schon über die ungewöhnliche Gleichung in der
Aufgabenstellung gewundert.
Stammfunktion bilden, Integral in den Grenzen berechnen, Durchschnitt
bilden.
ich trinke jetzt erst einmal einen starken Kakao.

ich habe mich an dem Text

> Max legt einmalig eine Betrag von 8.580€ auf sein Sparbuch ein

und da gibt es keine stetige ( = kontinuierliche) Verzinsung.

"Kontinuierlich" habe ich deshalb als "immer weiter" (also mit Zinseszinsen) interpretiert.

"Kontuierlich verzinst" als  mathematischer Begriff und der restliche Text widersprechen sich erheblich

Hallo Wolfgang,
bin kein Kaufmann.

Ich habe mich soeben in
nominellen Zinssatz von 2,7%
und
kontinuierlich verzinst  wird.

etwas eingearbeitet.

Für mich interessant ist der Link.
Ich werde versuchen mich kundig zu machen warum
1.027^t  ≠  e0.027*t
ist.

mfg Georg

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k ( t ) = k0 * e0.027*t

Stammfunktion
317777.78 * k0 * e0.027*t

integralfunktion
[ 317777.78 * 8580 * e0.027*t ] 914 = 58564.64

Durchschnitt
58564.64 / 5
Antwort d) 11712,93

Avatar von 123 k 🚀

Vielen Dank für den Rechenweg :) Für mich ist alles nachvollziehbar, bis auf K (0) 317777,78, wie hast du das berechnet? :)

k ( t ) = k0 * e0.027*t

Stammfunktion
317777.78 * k0 * e0.027*t

Das ist falsch.
Es muß heißen

Stammfunktion
37,037 * 8580 *  * e^{0.027*t}
317777.78 * e^{0.027*t}

Die weiteren Berechnungen und Ergebnisse sind  aber bereits richtig.

Oke super, schon mal vielen Dank :) aber ich verstehe leider noch immer nicht wo jetzt die 37,037 herkommen? Sorry...

mit Hilfe der Zeichnung?

Eine e-Funktion hat als Stammfunktion immer eine e-Funktion:
Die Ableitung ist auch eine e-Funktion. Leiten wir probeweise
einmal ab.

[ e^{0.027*t}  ] = e^{0.027*t} * 0.027

 Um auf die Funktion zu kommen muss mit dem Kehrwert  von 0.027
= 37.037 malgenommen werden.
[ 37.037 * e^{0.027*t}  ]
= 37.037 * e^{0.027*t} * 0.027 =
e^{0.027*t}

Damit  ist 37.037 * e^{0.027*t}  die Stammfunktion von e^{0.027*t}
Wenn man alles auf die Formel für die kontinuierliche Verzinsung
beschränkt ist es eigentllch noch einfacher

k0 : Anfangskapital
p : Verzinzung in Prozent davon 100stel, also 2.7 % => 0.027

k ( t ) = k0 * e^{0.027*t}
Ableitung
k ´ ( t ) = k0 * e^{0.027*t} * 0.027
Stammfunktion
K ( t ) = k0 * e^{0.027*t} * ( 1 / 0.027 )

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