Berechnung des durchschnittlichen Guthabens

Question

Max legt einmalig eine Betrag von 8.580€ auf sein Sparbuch ein, das mit einem nominellen Zinssatz von 2,7% kontinuierlich verzinst wird. Wie gro? ist das durchschnittliche Guthaben zwischen dem 9. & 14. Jahr ab Beginn der Einzahlungen?

f(t)= 8580 * e ^c*t  = 8580 * e^0,027*t

a= 9 & b=14

  f = 1/14-9  f (8580 * e^0,027*t) dt

  f = 8580/5 f e^0,027*t

    = 8580/5  [ e^0,027*t / 0,027]

   = 8580/5 (532,7092311 - 342,4559343) ....

wo liegt mein Fehler, es kommt nicht das richtige heraus? :/

Answer 1

K_n = K₀ • qⁿ     mit  q = 1 + p/100, hier  q = 1,027  [editiert: nicht 1,0027]

K₉   =  8580 € • 1,027⁹ 

K₁₀ =   8580 € • 1,027¹⁰ 

K₁₁ =   8580 € • 1,027¹¹ 

K₁₂ =   8580 € • 1,027¹²

K₁₃ =   8580 € • 1,027¹³

K₁₄ =   8580 € • 1,027¹⁴ 

durchschnittliches Guthaben:    ( K₁₄ + K₁₃ + K₁₂ + K₁₂ + K₁₀ + K₉ ) /  6 

Man könnte "zwischen" auch als Jahr 2010 - 2013 auffassen.

Gruß Wolfgang

Comments

Das stimmt leider nicht, da kontinuierlich verzinst wird.

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Kein Sparbuch wird kontinuierlch verzinst!  Es kann also nur "mit Zinseszins" gemeint sein.

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Bin kein Kaufmann.

Ich habe gerade einmal nachgeschaut.
Nominalzins : Verzinsung ohne Zineszins ?

Beispiel
100 € zu 5 %
1. Jahr : 105 €
2.Jahr : 110 €
3.Jahr : 115 € usw

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die Lösungen sind:
a) 11730,71
b) 11079,16
c) 9802,56
d) 11712,93
e) 16755,76

Rechnet man die Aufgabe nicht mit Hilfe des Integrals aus? :)

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Welche Lösung gehört zu der Aufgabe ?

@Wolfgang
K_n = K₀ • qⁿ     mit  q = 1 + p/100, hier  q = 1,0027
sondern
K_n = K₀ • qⁿ     mit  q = 1 + p/100, hier  q = 1,027

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Es muss natürlich 1,027 heißen.

Blöder Tippfehler und dann durch "Einfügen" ständig wiederholt.

Danke für den Hinweis Georg.

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k ( t ) = k0 * 1.027^t

Stammfunktion
37.535 *  k0 * 1.027^t

Integral
[ 37.535 *  k0 * 1.027^t ]₉¹⁴ = 58322,81

Durchschnitt
58322,81 / 5 = 11664

~plot~  8580*1,027^{x} ; [[8|15|10800|13000]] ~plot~

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Leider weigert sich der Plotter senkrechte Striche bei x = 9 und x = 14 zu zeichnen,
dann würde man sehen das es 5 jahre Differenz zwischen 9 und 14 sind.

durchschnittliche Guthaben zwischen dem 9. & 14. Jahr ab Beginn der Einzahlungen?

Vielleicht ist damit aber auch 9 und 15 gemeint ?  Ich rechne einmal.

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Bei 9 und 15 kommt 11824 heraus.

Keine der bisher gefundenen Lösungen  stimmt mit einem
Lösungvorschlag genau überein.

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Kontinuierliche Verzinsung geht mit der Fomel: K0*e^{i*t}

i= p/100 , hier: 0,027

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@wolfgang
Das Ganze scheint auf eine Differentialgleichung hinauszulaufen.
siehe hier
http://www.math-kit.de/2003/content/FO-PB-XML-cob/folgen//Manifest26/verzinsung.html

k0 * e^{0.027*t}

Ich hatte mich schon über die ungewöhnliche Gleichung in der
Aufgabenstellung gewundert.
Stammfunktion bilden, Integral in den Grenzen berechnen, Durchschnitt
bilden.
ich trinke jetzt erst einmal einen starken Kakao.

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ich habe mich an dem Text

> Max legt einmalig eine Betrag von 8.580€ auf sein Sparbuch ein

und da gibt es keine stetige ( = kontinuierliche) Verzinsung.

"Kontinuierlich" habe ich deshalb als "immer weiter" (also mit Zinseszinsen) interpretiert.

"Kontuierlich verzinst" als  mathematischer Begriff und der restliche Text widersprechen sich erheblich

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Hallo Wolfgang,
bin kein Kaufmann.

Ich habe mich soeben in
nominellen Zinssatz von 2,7%
und
kontinuierlich verzinst  wird.

etwas eingearbeitet.

Für mich interessant ist der Link.
Ich werde versuchen mich kundig zu machen warum
1.027^t  ≠  e^0.027*t
ist.

mfg Georg

Answer 2

k ( t ) = k0 * e^0.027*t

Stammfunktion
317777.78 * k0 * e^0.027*t

integralfunktion
[ 317777.78 * 8580 * e^0.027*t ] ₉¹⁴ = 58564.64

Durchschnitt
58564.64 / 5
Antwort d) 11712,93

Comments

Vielen Dank für den Rechenweg :) Für mich ist alles nachvollziehbar, bis auf K (0) 317777,78, wie hast du das berechnet? :)

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k ( t ) = k0 * e^0.027*t

Stammfunktion
317777.78 * k0 * e0.027*t

Das ist falsch.
Es muß heißen

Stammfunktion
37,037 * 8580 *  * e^{0.027*t}
317777.78 * e^{0.027*t}

Die weiteren Berechnungen und Ergebnisse sind  aber bereits richtig.

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Oke super, schon mal vielen Dank :) aber ich verstehe leider noch immer nicht wo jetzt die 37,037 herkommen? Sorry...

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Siehe auch :

https://www.mathelounge.de/335287/durchschnittliche-guthaben-zwischen-siebzehnten-einzahlungen?show=335361#a335361

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mit Hilfe der Zeichnung? 

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Eine e-Funktion hat als Stammfunktion immer eine e-Funktion:
Die Ableitung ist auch eine e-Funktion. Leiten wir probeweise
einmal ab.

[ e^{0.027*t}  ] = e^{0.027*t} * 0.027

 Um auf die Funktion zu kommen muss mit dem Kehrwert  von 0.027
= 37.037 malgenommen werden.
[ 37.037 * e^{0.027*t}  ] = 37.037 * e^{0.027*t} * 0.027 =
e^{0.027*t}

Damit  ist 37.037 * e^{0.027*t}  die Stammfunktion von e^{0.027*t}

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Wenn man alles auf die Formel für die kontinuierliche Verzinsung
beschränkt ist es eigentllch noch einfacher

k0 : Anfangskapital
p : Verzinzung in Prozent davon 100stel, also 2.7 % => 0.027

k ( t ) = k0 * e^{0.027*t}
Ableitung
k ´ ( t ) = k0 * e^{0.027*t} * 0.027
Stammfunktion
K ( t ) = k0 * e^{0.027*t} * ( 1 / 0.027 )