Durchschnittlichen Lagerbestand L berechnen

Question

Gegeben ist:

L(0)= 12.050,00

L(23) = 2.578,7

Antwort mit Rechenweg:

Der Lagerbestand L(t) zum Zeitpunkt t ist eine lineare Funktion L(t)=a-b·t. Der Achsenabschnitt ist a=L(0)=12050. Damit ist die Steigung b= L(0)-L(23) 23 =411.795652. Der Lagerbestand sinkt also um 411.795652 pro Zeiteinheit.
Gesucht ist der Durchschnittswert im Intervall [0,T] mit T=23.

L  = (1/T) ∫0-T (a-b·t) d t =

(1/T) (a·T- b/2 · T^2 -0) =

a-b· T/2  = 7314.35
Der durchschnittliche Lagerbestand L beträgt also 7314.35.

Meine Frage ist nun: Wie komme ich auf den zweiten und dritten Rechenschritt? Gibt es eine Lösung oder muss ich einfach auswendig lernen, dass a-b*T/2 den durschnittlichen Lagerbestand ergibt? Thx!

Answer 1

Da die Funktion des Lagerbestandes eine lineare ist, ist es unnötig ein Integral zu verwenden. Der durchschnittliche Lagerbestand ergibt sich einfach als arithmetisches Mittel des Anfangs und des Endwertes.

(L(0)+L(23))/2=(12050+2578,7)/2=7314,35

Answer 2

Koffi hat recht. Wenn man es aber mit dem Integral machen will, z.B. wenn L(t) (>0) nicht linear wäre, müsste man L(t) in den Grenzen von 0 bis T integrieren und die so erhaltene Fläche durch T teilen