Punkt einer Tangente bewegt sich

Question

der Halbkreis über der strecke AB schneidet die mittelsenkrechte m der strecke AB im punkt C. auf dem viertelkreisbogen zwischen den punkten A und C wird ein punkt D gewählt und durch ihn die tangente t an den halbkreis gezeichnet. die strecke BD schneidet m im punkt E. die paralelle zu AB durch E schneidet t im punkt F. auf welcher bahn bewegt sich F, wenn sich D auf dem viertelkreisbogen von A nach C bewegt, ohne den punkt C zu erreichen?

Answer 1

N sei der Schnittpunkt der Geraden durch FE mit der Geraden durch MD.

Die Dreiecke FND und NME stimmen offensichtlich in zwei Winkeln überein (grün und gelb in der Skizze) und sind daher ähnlich. Der Winkel DBA (blau) findet sich wieder in DEF (Stufenwinkel). Da MB=MD ist, ist das Dreieck BDM ein gleichschenkliges und daher ist der Winkel MDB ebenfalls identisch zu DBA. Aus der Gleichheit der Winkel DEF und MDB folgt, dass das Dreieck EDN ebenfalls ein gleichschenkliges ist und die Strecken ND und NE gleich lang sind. Zusammen mit der Ähnlichkeit folgt daraus die Kongruenz der Dreiecke FND und NME. Also ist die Strecke 

$$FE = FN + NE = MN + ND = MD = r$$

immer identisch zum Radius \(r\) des Kreises um \(M\) unabhängig von der Lage von \(D\) auf dem Kreis. Demnach bewegt sich \(F\) auf einer Gerade parallel zu \(m\) im Abstand \(r\).

Nachtrag: aus der Gleichheit von FE und \(r\)=MB und der Parallelität von FE zu AB folgt, dass es sich bei dem Viereck MBEF um ein Parallelogramm handelt. Die Geraden durch FM und EB bzw. DB liegen also parallel.

Answer 2

Den Mittelpunkt von AB nenne ich M. MD schneidet EF in N. Die Dreiecke MNE und NFD sind kongruent. Der Punkt F bewegt sich auf einer Parallelen zu m=MC, die durch A geht.

Comments

Vielen Dank für die Idee!!!!

F bewegt sich senkrecht auf A zu, oder weg von A, das kann man auch sehen, aber warum ist die Kongruenz dieser beiden Dreiecke dafür ein Beweis und warum sind die beiden Dreiecke kongruent?

Die Strecke FM ist auch parallel zur Strecke GB ...??

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 ... FM ist parallel zu DB wollte ich schreiben

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Ja, FM ist parallel zu DB. Und daher haben die Dreiecke MNE und NFD nicht nur gleiche Winkel, sondern auch gleiche Höhen und sind folglich kongruent.

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Warum folgt aus der Parallelität von FM und DB dass die Höhen gleich sind? und welche der drei Höhen meinst Du. 

Aus der Parallelität von FM und DB würde ja sofort folgen, dass MBEF ein Parallelogramm ist und demnach FE gleich MB und damit gleich dem Radius ist. Dann braucht man die Dreiecke nicht mehr.

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Sind FM und DB Parallel oder nicht? Könnte das bewiesen werden? Es sieht gezeichnet auf jeden Fall so aus, als wären sie parallel.

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Sie sind parallel, aber Roland verschweigt uns noch die kausale Kette, wie er darauf gekommen ist.

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Ja, schade, das wäre wichtig.

Noch ein anderer Gedanke:

Wenn sich D auf dem Kreis in Richtung A bewegt, dann wären D und F und A am Ende identisch. Wenn sich D auf dem Kreis in Richtung C bewegt, dann wären D und C am Ende identisch, aber F im Abstand mit der Länge des Radiusses von C entfernt. (D soll allerdings C nicht ganz erreichen) Der Abstand von F zum Kreis wird immer größer, je weiter D sich auf dem Kreis von A entfernt. Könnte es dafür eine Gleichung geben, oder? Oder läßt sich das auch über kongruente Dreiecke zeigen? Oder Strahlensatz?

Die Strecke EF wäre immer der Radius.

Dafür braucht man aber ja auch den Beweis, das FM und EB parallel sind. Wie kann man auf diesen Beweis kommen?

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Eine vollständige Lösung habe ich nicht. Ich wollte nur Ideen zu Lösung beisteuern.

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Danke auf jeden Fall soweit für die Ideen.