In welchen Punkt haben die Graphen parallele Tangenten?

Question

Aufgaben:

In welchen Punkten \( P\left(x_{0} | f\left(x_{0}\right)\right) \) und \( Q\left(x_{0} | g\left(x_{0}\right)\right) \) haben die Graphen von \( f \) und \( g \) parallele Tangenten?

a) \( f(x)=e^{x} \quad ; \quad g(x)=x \)

b) \( f(x)=-2 e^{x} \quad ; \quad g(x)=-4 x \)

c) \( f(x)=\sqrt{e} · x \quad ; \quad g(x)=e^{x}-2 \)

d) \( f(x)=e^{x}+3 \quad ; \quad g(x)=\frac{e}{2} · x^2 \)

Natürlich weiss ich, wie man parallele Tangenten rechnet. Man muss mit erste Ableitung mit f'(x)=g'(x) rechnen.  Kann jemand mir helfen, da ich nur bei ganzrationale Funktion rechnen kann. Und hier bei dieser Aufgabe habe ich keine Ahnung wie ich zu den Ergebnis komme und das ist ganz neu für mich.

Answer 1

Das Wesentliche hast Du ja schon verinnerlicht:

"Man muss mit erste Ableitung mit f'(x)=g'(x) rechnen."

a)

f(x) = e^x | f'(x) = e^x

g(x) = x | g'(x) = 1

An welcher Stelle ist e^x = 1?

An x₀ = 0, denn e⁰ = 1

b)

f(x) = -2*e^x | f'(x) = -2 * e^x

g(x) = -4x | g'(x) = -4

-2 * e^x = -4

e^x = 2

x₀ = ln(2)

c)

f(x) = √e * x | f'(x) = √e

g(x) = e^x - 2 | g'(x) = e^x

e^x = √e = e^1/2

x₀ = 1/2

d)

f(x) = e^x + 3 | f'(x) = e^x

g(x) = e/2 * x² | g'(x) = e * x

e^x = e * x | :e

e^x-1 = x

x - 1 = ln (x)

x₀ = 1

Comments

Ich versteh mit der Aufgabe a) nicht ganz :-( .. 

Das Ergebnis wäre x₀ = 1 ? 

--

Es ist auch bei der Aufgabe d) schwer zu verstehen ..

---

Hi, 

gesucht sind in den Aufgaben ja parallele Tangenten, also Tangenten mit gleichem Anstieg. 

 

Deshalb wurden in der Aufgabe a) die 1. Ableitungen von f(x) und von g(x) gebildet. 

Gesucht ist also die Stelle x₀, an der diese beiden Ableitungen den gleichen Wert haben. Deshalb wurde gleichgesetzt: 

f'(x) = e^x = g'(x) = 1

An welcher Stelle x₀ ist e^x = 1?

An der Stelle x₀ = 0, denn e⁰ = 1.

 

In Aufgabe d) wurde genauso verfahren: 

e^x = e * x

Beide Seiten durch e dividiert ergibt

e^x / e = e * x / e

e^x-1 = x

Nun auf beiden Seiten logarithmiert: 

x - 1 = ln (x)

Und jetzt muss man also herausfinden, an welcher Stelle x₀ gilt

x₀ - 1 = ln (x₀)

Und das gilt eben an der Stelle x₀ = 1, weil

1 - 1 = 0

und 

ln (1) = 0

---

Ihr habt wohl überlesen, dass ebenfalls Punkte angegeben werden müssen. Beispielsweise währen das bei der Aufgabe 2 unendlich Q Punkte. Wie beweist man das Mathematisch?

---

Ich bin zwar kein Matheass, aber ich denke ihr löst die d) falsch.

f(x) = e^x + 3 wird zu f'(x) = e^x

g(x) = e • x wird zu g'(x) = e

f'(x) = g'(x) dh.

e^x = e | ln()

x = ln(e)

x = 1