Ebene durch Punkte A(0|2|1), B(6|-5|0) und C(1|0|1). Wie bildet man die Normalengleichung ohne Kreuzprodukt?

Question

Aufgabe:

Die Ebene \( E \) ist durch die Punkte \( A, B \) und \( C \) festgelegt. Bestimmen Sie eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene \( E \).

a) \( A(0|2|-1), 8(6|-5| 0), C(1|0| 1) \)

Unklar: Normalenforn von E: (n1/n2/n3) * Vektor A = 0

Comments

Was brauchst du genau?

Eine Ebenengleichung in Koordinatenform?

Dann genügt der Ansatz:

kx + ny + mz = d.

Hier die Punkte einsetzen→3 Gleichungen mit den Unbekannten k,n,m und d.

Eine von diesen Unbekannten beliebig wählen (zB = 1) und dann die andern berechnen. Falls das nicht geht, setzt du eine andere Unbekannte = 1.

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wie gros ist d?

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(N1/n2/n3) * Vektor A = 0


aufgabe nur 1 a die normalgleichung bilden wie geht das ich eeis nicht writer leider

Answer 1

a (0 2 1) b(6 -5 0) c(1 0 1)

ax + by + cz = d

0a + 2b + 1c = 1
6a - 5b + 0c = 1
1a + 0b + 1c = 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2b%2B1c%3D1%2C6a-5b%3D1%2C1a%2B1c%3D1

a = 2/7, b = 1/7, c = 5/7
n = [2, 1, 5]

2/7*x + 1/7*y + 5/7*z = 1
2x + y + 5z = 7

Das ist die Koordinatengleichung. Jetzt nehme ich noch Punkt A und stelle die Normalenform auf

([x, y, z] - [0, 2, 1]) * [2, 1, 5] = 0

Fertig.

Comments

Das ist jetzt dummerweise bereits die Koordinatengleichung.
(2/1/5)*(x/y/z) = 7 und nicht wie Anonym will =0.
Eventuell ist (2/1/5)*(x/y/z) - 7 =0 gemeint.

Was die genau unter Normalengleichung verstehen, weiss ich aber leider auch nicht.

Der Normalenvektor ist ja jetzt ablesbar als: (2/1/5) . Er hat die Länge √(4+1+25) = √30

Vielleicht sollte man noch die Hessesche Normalform draus machen. Da wäre noch

2x+y+5z - 7= 0

durch √30 zu dividieren.

HNF: (2x+y+5z - 7)/√30 = 0

Answer 2

Durch die 3 Punkte wird eine Ebene definiert. Eine mögliche Ebenengleichung wäre

Stützvektor + r * Richtungsvektor1 + s * Richtungsvektor2

Z.B.

E: v = a + r*(b-a) + s*(c-a)

E:v = (0|2|1) + r*(6|-7|-1) + s*(1|-2|0)

Um die Normalgleichung zu finden, berechnet man den Normalenvektor, der auf beiden Richtungsvektoren 

dieser Gleichung senkrecht steht, also

(x|y|z) * (6|-7|-1) = 0 => 6x - 7y -z = 0

(x|y|z) * (1|-2|0) = 0 => x - 2y +0z = 0

Wir brauchen noch eine 3. Gleichung, weil wir ja 3 Unbekannte haben; nehmen wir einfach den Stützvektor:

x + y + z = 3

Löst man diese 3 Gleichungen auf, erhält man

x = 0,75

y = 0,375

z = 1,875

Um die rechte Seite der Koordinatenform zu erhalten, nehmen wir einen Punkt, z.B. a und setzen diese Werte ein:

0,75*0 + 0,375*2 + 1,875*1 = 2,625

Die Normalgleichung lautet also:

0,75*x + 0,375*y + 1,875*z = 2,625 

Comments

Multipliziert man diese Gleichung mit 8 und dividiert man sie dann durch 3, so kommt man auf die gleiche Lösung wie Lu, die natürlich wesentlich eleganter aussieht und besser zu handhaben ist :-)

Answer 3

Ebene durch Punkte A(0 2 1), B(6 -5 0) und C(1 0 1).
Wie bildet man die Normalengleichung ohne Kreuzprodukt?

Man kann auch das Skalarprodukt benutzen. Dazu wird das Skalarprodukt aus den Richtungsvektoren, die beim Aufstellen der Parameterform ohnehin schon bestimmt wurden, und dem Normelenvektor n = (n1 n2 n3) gleich Null gesetzt. Dabei entstehen zwei lineare Gleichungen in den drei Variablen n1, n2 und n3:

(OB-OA)*(n1 n2 n3) = 0
(OC-OB)*(n1 n2 n3) = 0
⇔
(6 -7 -1)*(n1 n2 n3) = 0
(-5 5 1)*(n1 n2 n3) = 0
⇔
6n1 -7n2 -n3 = 0
-5n1 +5n2 +n3 = 0
⇔
6n1 -7n2 -n3 = 0
n1 -2n2 = 0
⇔
5n2 -n3 = 0
n1 -2n2 = 0
⇔
5n2 = n3
n1 = 2n2

Mit n2 := r ≠ 0 ist n = r*(2 1 5) die Normale zur Ebene
und (2 1 5) ein einfach aussehender Normalenvektor.