Nullstelle ablesen einer Komplexen Gleichung 3.Grades

Question

Ich habe die Aufgabe

x⁴-7x³+19x²-23x+10 und die erste Nullstelle mit 2+i gegeben.

Durch einsetzten bin ich auf

x³+(-5+i)x²+(8-3i)x -4+2i=0 gekommen.

Wie finde ich jetzt die zweite Nullstelle raus? (Die Lösung ist x₂= 2-i)

Gibt es eine möglichkeitt die Nullstelle durch ausklammern von x abzulesen ?

Answer 1

Hi, da nur reelle Koeffizienten vorhanden sind, muss mit der Nullstelle \((2+i)\) auch die Konjugierte \((2-i)\) eine Nullstelle sein.

Answer 2

Du kannst ja zunächst auch reelle Nullstellen suchen

x^4 - 7·x^3 + 19·x^2 - 23·x + 10 = (x - 1)·(x - 2)·(x^2 - 4·x + 5)

Dabei kann man die Nullstelle bei eins direkt immer schon an den Koeffizienten ablesen.

x^2 - 4·x + 5 = 0 --> x = 2 - i ∨ x = 2 + i

Answer 3

Die Faktorenzerlegung des Funktionsterms ist (x-1)(x-2)(x²-4x+5). Die ersten beiden Linearfaktoren führen zu reellen Nullstellen. Der Faktor (x²-4x+5) führt allerdings zu 2 komplexen Nullstellen, die du offensichtich schon kennst.