Komplexe Nullstelle beweisen

Question

Es ist bekannt, dass jedes Polynom \( p \) vom Grad \( n \geq 1 \) mindestens eine Nullstelle im Komplexen hat (daraus kann man dann folgern, dass \( p \) in insgesamt \( n \) Linearfaktoren zerfällt). Beweisen Sie diese Aussage. Betrachten Sie hierzu die Funktion \( \frac{1}{p} \).

Comments

"Es ist bekannt, dass jedes Polynom \( p \) vom Grad \( n \geq 1 \) mindestens eine Nullstelle im Komplexen hat"

Wie ist es mit p(x)= (x-3)*(x+5)*(x+2)*(x-1) ?

mfG

Moliets

---

Ist x = 3 + 0i ist eine Nullstelle im Bereich der komplexen Zahlen oder nicht?

---

x =3+0*i ist keine Nullstelle im Bereich der komplexen Zahlen.

Begründung:

 0*i =  0*\( \sqrt{-1} \) =  \( \sqrt{ 0^2*(-1)} \)=\( \sqrt{ 0^2} \)=0

Somit ist x= 3 + 0*i = 3

mfG

Moliets

---

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Nullstelle

p(3+0i) = 0

---

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

Komplexe Zahlen können in der Form a+b·i dargestellt werden, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei i^2 stets durch -1 ersetzt werden kann und umgekehrt. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol ℂ (Unicode U+2102: ℂ, siehe Buchstabe mit Doppelstrich) verwendet.

---

Das war jetzt etwas viel Diskutuererei. Ich bin verwirrt...

Wie genau lautet jetzt die Antweort auf die Frage?

Answer 1

Wenn Du den Satz von Liouville benutzten darfst, dann siehe hier

http://www.matha.rwth-aachen.de/lehre/ss06/anaprosem/Micha_Bittner_Ausarbeitung.pdf Satz 2.1