Komplexe Zahl als Ergebnis für eine Nullstelle?

Question

Hi, ich habe folgende Aufgabe:

Aufgabe:

Berechnen Sie sämtliche Eigenwerte λ ∈ C und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix

A= (1/3)*

2	-2	1
2	1	-2
1	2	2

Problem/Ansatz:

Ich habe wie üblich das Charakteristische Polynom gebildet und dieses mit dem Horner-Schema auf ein Quadratisches-Polynom umgeformt. Sonst benutzt man die p-q-Formel um die Nullstellen zu berechnen, diesmal kam, aber eine sehr komische Zahl, also hab ich mein Ergebnis mit dem von meinem Professor verglichen. Er wendet auf das quadratische Polynom die quadratische Ergänzung und bekommt nach einer kleinen umformung folgendes raus: (λ-(1/3))^2=-(8/9) und bekommt als Nullstellen λ1 = 1, λ2 =(1/3)+(2/3)√2*j, λ3=(1/3)-(2/3)√2*j.

Könnte mir jemand erklären wie er auf die Nullstellen kommt? und vor allem auf die √2*j?

Vielen Dank für die Antworten

Answer 1

(λ-(1/3))^2=-(8/9)

Damit das Quadrat weggeht, brauchst du die Wurzeln aus -(8/9)

Da das eine negative Zahl ist, sind die

± j * √(8/9)   denn j^2 = -1

also  ± j * √(8/9) =  ± j * 2*√2  / 3

Dann wird damit aus (λ-(1/3))^2=-(8/9)

λ-(1/3) =  j * 2√2  / 3  oder  λ-(1/3) = - j *2 √2  / 3 
λ= 1/3  +  j * 2√2  / 3  oder  λ =   1/3   - j * 2√2  / 3 

Comments

Vielen Dank für deine schnelle und verständlich erklärte Antwort.

Answer 2

Hallo,

ich komme auf andere Ergebnisse.

Vergleiche bitte nochmal die genaue Aufgabe .

Comments

Hi, also in der Lösung von meinem Professor steht, dass das Charakteristische Polynom -λ^3+(5/3)λ^2-(5/3)λ+1 ist. Ich hatte bei meiner ersten Rechnung auch das gleiche raus bekommen wie du, aber am Ende hat sich herausgestellt, dass ich mich verrechnet habe. Aber trotzdem danke für deine schnelle hilfe.