(nicht) differenzierbare Funktionen? Zeigen Bsp. f(x,y)= ³ √(x^2+y^2)

Question

Gegeben sind diese drei Funktionen und man soll zeigen, dass (a) und (b) im Punkt (0,0) nicht differenzierbar sind, die dritte hingegen schon. Wie geht das bei Funktionen mit mehreren Variablen?? Gibt es dafür eine Formel? geht das mit dem lim?

1. (a)  f(x,y)= ^3 √(x^2+y^2) (gemeint ist hier die 3te Wurzel)

2. (b)  f(x,y)= √(x^2+y²)

3. (c)  f(x,y)= x^2+y^2

Comments

Ich muss folgendes Bsp lösen jedoch weiß ich nicht wie ich dieses lösen soll ? Bitte um Hilfe , vielen Dank !

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Diese Frage wurde vor drei Tagen schon gestellt, nämlich hier: https://www.mathelounge.de/333858/nicht-differenzierbare-funktionen

Answer 1

Wenn du dir die drei Funktionen grafisch ansiehst wirst du feststellten, dass die nicht differenzierbaren bei Null spitz sind, die Funktion (a) sogar konkav, und die differenzierbare Funktion rund. Im ersten Fall kippt die Steigung, im zweiten Fall ändert sie kontinuierlich.

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Tipp: Untersuche die partiellen Ableitungen in (0,0)

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ahja voll, sehr cool, Dankeschön :D

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Mich würde jedoch jetzt aber auch interessieren wie man das berechnet & auch beweist, dass die Funktion c) nicht differenzierbar ist . wie würde das dann aussehen ? 

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Schau mal bei den heutigen Fragen. Da gibt es ein Duplikat, dessen Antworten innert Kürze zu deiner Frage verschoben werden. 

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Schau mal bei den heutigen Fragen. Da gibt es ein Duplikat, dessen Antworten innert Kürze zu deiner Frage verschoben werden. 

https://www.mathelounge.de/335164/differenzierbarkeit-einer-funktion-bsp-f-x-y-√-x-2-y-2

Answer 2

Probiere mal x = h * COS(α) und y = h * SIN(α)

Mit einer Ableitung nach h

c) 

f = x^2 + y^2 = (h·COS(α))^2 + (h·SIN(α))^2 = h^2

f' = 2h

a)

f = ((h·COS(α))^2 + (h·SIN(α))^2)^{1/3} = h^{2/3}

f' = 2/(3·h^{1/3})

b) 

f = ((h·COS(α))^2 + (h·SIN(α))^2)^{1/2} = h

f' = 1

Lass dir dazu auch die Funktionen zeichnen.

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Geht es aus einfacher also ohne x=... Y=.. ? Sowas haben wir noch nicht gemacht und es ist für mich auch nicht logisch ..

Eigentlich muss ich dazu nur wie unten auch beschrieben die partielle Ableitung machen oder. ?

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Ja. In diesem Fall gehen auch die Partiellen Ableitungen.

b)

f(x, y) = √(x^2 + y^2)

f'x(x, y) = x/√(x^2 + y^2)

f'x(x, 0) = x/√(x^2 + 0^2) = x / |x| = SIGN(x) --> nicht differenzierbar

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Wie kommen Sie auf x/ wurzel ? 

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f(u) = √u = u^{1/2}

f ' (u) = 1/2 * u^{-1/2} = 1/(2√u) 

Und nun kommt bei dir einfach noch eine innere Ableitung dazu. 

Answer 3

a) Die partiellen Ableitungen von f(x,y) in (0,0) existieren nicht, deshalb nicht stetig partiell differenzierbar und somit nicht differenzierbar.
b) Die partiellen Ableitungen von f(x,y) in (0,0) existieren, sind aber nicht stetig und somit ist die Funktion dort nicht differenzierbar.
c) Es handelt sich hier um eine Polynomfunktion, Diese ist steig partiell differenzierbar in (0,0), somit differenzierbar.

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Woher sehe ich dass diese nicht existiert , wie Rechne ich das denn genau ? Vielen Dank für die Antwort !

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Wie rechne ich eine partielle Ableitung in 0,0 ? Wie setze ich diese ein. ?

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a)

df/dx= 2x/(3*(x^2+y^2)^{2/3})

setze y=0 und bilde den Grenzwert x gegen 0:

[lim x to 0] 2x/(3*(x^2)^{2/3})=[lim x to 0] 2x/(x^{4/3})=[lim x to 0] 2/(x^{1/3}) existiert nicht

Für df/dy die selben Schritte, weil die Gleichung in x und y symmetrisch ist.

b)df/dx=x/((x^2+y^2)^{1/2})

Setze als Folgen a_n=(1/n,0); b_n= (-1/n,0)

Beiden Folgen gehen fü n-> ∞ gegen (0,0)

Setze a_n bzw. b_n in die partielle Ableitung ein. 

--> [lim n to ∞] a_n/(( a_n^2+y^2)^{1/2})  = 1 

--> [lim n to ∞] b_n/(( b_n^2+y^2)^{1/2})  =- 1

Die Grenzwerte unterscheiden sich also. Somit ist df/dx in (0,0) nicht stetig.

Für df/dy auf die selbe Art zu zeigen. 

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Warum muss ich bei Bsp b) eine Folge bilden ? Geht das nicht einfacher ?

Wie kommt man auf 1 und -1 ?

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Du kannst auch bei b) mit dem Betrag argumentieren, so wie es Mathecoach gemacht hat. Mit der Folge hat man praktisch nur bewiesen, dass der Betrag nicht stetig ist. Wenn du die Folge a_n einsetzt: 

 [lim n to ∞] a_n/(( a_n²+y²)^1/2) = [lim n to ∞] (1/n)/(1/n) = 1

b_n:  [lim n to ∞] (-1/n)/( 1/n) = -1

y^2 im Nenner wird 0, (±1/n)^2 kürzt sich mit Wurzel und der einzige Unterschied ist im Zähler das ±(1/n)