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Betrachte die Menge X={Peter,Paul,Mary}. Bestimme alle möglichen Topologien für X. Gib an welche davon Hausdroffsch sind.

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Bestimme alle Teilmengen \(\mathcal{T}\subset\mathcal{P}(X)\), die die Axiome für offene Mengen erfuellen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Raum#Definition

Dann weiter hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hausdorff-Raum#Definition

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also zum Beispiel:

{{P,P,M},{leere Menge}} ist Hausdorffsch

{{P,P,M},{leere Menge},{Paul}} usw... ?

{{P,P,M},{leere Menge}} ist Hausdorffsch

Wie kommst Du da drauf? Die einzige offene Menge, die zwei verschiedene Elemente enthaelt, ist doch in diesem Fall {P,P,M}. Die ist doch nicht disjunkt zu sich selber.

Aha jetzt verstehe ich es. Stimmt es, dass es 11 versch. Topologien gibt?

"Aha jetzt verstehe ich es. Stimmt es, dass es 11 versch. Topologien gibt?"

Könnte mich komplett irren, aber ich habe bei selbiger Aufgabe 5 Topologien ermitteln können, welche alle drei Axiome erfüllen.

Sei x = Peter, y = Paul und z = Mary.

Sei X = {x,y,z}, Φ ={}

T1 = {Φ,X}

T2 = {Φ,{x},{y,z},X}

T3 = {Φ,{y},{x,z},X}

T4 = {Φ,{z},{x,y},X}

T5 = {Φ,{x},{y},{z},{x,y},{y,z},{x,z},X}


Könntest du mich darüber aufklären was da fehlen könnte?

"Aha jetzt verstehe ich es. Stimmt es, dass es 11 versch. Topologien gibt?"

Könnte mich komplett irren, aber ich habe bei selbiger Aufgabe 5 Topologien ermitteln können, welche alle drei Axiome erfüllen.

Sei x = Peter, y = Paul und z = Mary.

Sei X = {x,y,z}, Φ ={}

T1 = {Φ,X}

T2 = {Φ,{x},{y,z},X}

T3 = {Φ,{y},{x,z},X}

T4 = {Φ,{z},{x,y},X}

T5 = {Φ,{x},{y},{z},{x,y},{y,z},{x,z},X}


Könntest du mich darüber aufklären was da fehlen könnte?

Bin nun auf 29 Topologien gekommen, hatte wohl den Durchschnitt zweier Mengen mit dessen Komplement verwechselt, pardon...

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