Bestimme alle möglichen Topologien

Question

Betrachte die Menge X={Peter,Paul,Mary}. Bestimme alle möglichen Topologien für X. Gib an welche davon Hausdroffsch sind.

Answer 1

Bestimme alle Teilmengen \(\mathcal{T}\subset\mathcal{P}(X)\), die die Axiome für offene Mengen erfuellen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Raum#Definition

Dann weiter hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hausdorff-Raum#Definition

Comments

also zum Beispiel:

{{P,P,M},{leere Menge}} ist Hausdorffsch

{{P,P,M},{leere Menge},{Paul}} usw... ?

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{{P,P,M},{leere Menge}} ist Hausdorffsch

Wie kommst Du da drauf? Die einzige offene Menge, die zwei verschiedene Elemente enthaelt, ist doch in diesem Fall {P,P,M}. Die ist doch nicht disjunkt zu sich selber.

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Aha jetzt verstehe ich es. Stimmt es, dass es 11 versch. Topologien gibt?

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"Aha jetzt verstehe ich es. Stimmt es, dass es 11 versch. Topologien gibt?"

Könnte mich komplett irren, aber ich habe bei selbiger Aufgabe 5 Topologien ermitteln können, welche alle drei Axiome erfüllen.

Sei x = Peter, y = Paul und z = Mary.

Sei X = {x,y,z}, Φ ={}

T₁ = {Φ,X}

T₂ = {Φ,{x},{y,z},X}

T₃ = {Φ,{y},{x,z},X}

T₄ = {Φ,{z},{x,y},X}

T₅ = {Φ,{x},{y},{z},{x,y},{y,z},{x,z},X}

Könntest du mich darüber aufklären was da fehlen könnte?

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"Aha jetzt verstehe ich es. Stimmt es, dass es 11 versch. Topologien gibt?"

Könnte mich komplett irren, aber ich habe bei selbiger Aufgabe 5 Topologien ermitteln können, welche alle drei Axiome erfüllen.

Sei x = Peter, y = Paul und z = Mary.

Sei X = {x,y,z}, Φ ={}

T₁ = {Φ,X}

T₂ = {Φ,{x},{y,z},X}

T₃ = {Φ,{y},{x,z},X}

T₄ = {Φ,{z},{x,y},X}

T₅ = {Φ,{x},{y},{z},{x,y},{y,z},{x,z},X}

Könntest du mich darüber aufklären was da fehlen könnte?

Bin nun auf 29 Topologien gekommen, hatte wohl den Durchschnitt zweier Mengen mit dessen Komplement verwechselt, pardon...