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Formel zur Berechnung von verzinsten Sparplänen mit Dynamik.

Die Raten sollen um einen bestimmten Prozentsatz steigen.

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Nachschüssige Rente:

Sn=rqn1+rbqn2++rqbn2+rbn1 S_{n}=r \cdot q^{n-1}+r \cdot b \cdot q^{n-2}+\ldots+r \cdot q \cdot b^{n-2}+r \cdot b^{n-1}

Snb=brqn1+rb2qn2++rqbn1+rbn S_{n} \cdot b=b \cdot r \cdot q^{n-1}+r \cdot b^{2} \cdot q^{n-2}+\ldots+r \cdot q \cdot b^{n-1}+r \cdot b^{n}

Snq=rqn+rbqn1++rq2bn2+rqbn1 S_{n} \cdot q=r \cdot q^{n}+r \cdot b \cdot q^{n-1}+\ldots+r \cdot q^{2} \cdot b^{n-2}+r \cdot q \cdot b^{n-1}

Jetzt kannst du die dritte Gleichung von der zweiten Gleichung abziehen. Vieles fällt dabei weg.

Danach nach Sn S_{n} auflösen. Dann hast du die Formel für den Endwert der dynamischen, nachschüssigen Rente.

b b ist der Steigerungsfaktor. (b-1)·100 wäre dann der prozentuale Anstieg der Rente pro Periode. Ist b=1,015, dann steigt die Rente 1,5% pro Periode.


Zur Rentenformel:
Subtrahiere die linke Seite der dritten Gleichung von der linken Seiten der zweiten Gleichung. Auf der rechten Seite bleibt rbnrqn r \cdot b^{n}-r \cdot q^{n}  übrig.

Also:

SnbSnq=Sn(bq) S_{n} * b-S_{n} * q=S_{n} *(b-q)

Sn(bq)=rbnrqn S_{n} \cdot(b-q)=r \cdot b^{n}-r \cdot q^{n}

n ist ein Zeitraum. n kann eine bestimmte Anzahl von Monaten bzw. Jahren sein. Das kann frei gewählt werden.


Wenn ich z.B. über 30 jahre spare, dabei mit 1000 Euro beginne und diesen Betrag
jährlich um 3% erhöhe, welchen Endbetrag erhalte dann, wenn die Verzinsung konstant 4% beträgt?

Ich würde die Formel nach Sn S_{n} umstellen.

Sn=(rbnrqn)/(bq) S_{n}=\left(r * b^{n}-r * q^{n}\right) /(b-q)

Ergibt 81613,50 Euro.


Du kannst bei der nachschüssigen Rente noch das r ausklammern:

Knnach =rbnqnbq K_{n}^{\text {nach }}=r \cdot \frac{b^{n}-q^{n}}{b-q}

Die Formel für die vorschüssige Rente ist dann:

Knvor =rqbnqnbq K_{n}^{\text {vor }}=r \cdot q \cdot \frac{b^{n}-q^{n}}{b-q}

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