Nachschüssige Rente:
\( S_{n}=r \cdot q^{n-1}+r \cdot b \cdot q^{n-2}+\ldots+r \cdot q \cdot b^{n-2}+r \cdot b^{n-1} \)
\( S_{n} \cdot b=b \cdot r \cdot q^{n-1}+r \cdot b^{2} \cdot q^{n-2}+\ldots+r \cdot q \cdot b^{n-1}+r \cdot b^{n} \)
\( S_{n} \cdot q=r \cdot q^{n}+r \cdot b \cdot q^{n-1}+\ldots+r \cdot q^{2} \cdot b^{n-2}+r \cdot q \cdot b^{n-1} \)
Jetzt kannst du die dritte Gleichung von der zweiten Gleichung abziehen. Vieles fällt dabei weg.
Danach nach \( S_{n} \) auflösen. Dann hast du die Formel für den Endwert der dynamischen, nachschüssigen Rente.
\( b \) ist der Steigerungsfaktor. (b-1)·100 wäre dann der prozentuale Anstieg der Rente pro Periode. Ist b=1,015, dann steigt die Rente 1,5% pro Periode.
Zur Rentenformel:
Subtrahiere die linke Seite der dritten Gleichung von der linken Seiten der zweiten Gleichung. Auf der rechten Seite bleibt \( r \cdot b^{n}-r \cdot q^{n} \) übrig.
Also:
\( S_{n} * b-S_{n} * q=S_{n} *(b-q) \)
\( S_{n} \cdot(b-q)=r \cdot b^{n}-r \cdot q^{n} \)
n ist ein Zeitraum. n kann eine bestimmte Anzahl von Monaten bzw. Jahren sein. Das kann frei gewählt werden.
Wenn ich z.B. über 30 jahre spare, dabei mit 1000 Euro beginne und diesen Betrag
jährlich um 3% erhöhe, welchen Endbetrag erhalte dann, wenn die Verzinsung konstant 4% beträgt?
Ich würde die Formel nach \( S_{n} \) umstellen.
\( S_{n}=\left(r * b^{n}-r * q^{n}\right) /(b-q) \)
Ergibt 81613,50 Euro.
Du kannst bei der nachschüssigen Rente noch das r ausklammern:
\( K_{n}^{\text {nach }}=r \cdot \frac{b^{n}-q^{n}}{b-q} \)
Die Formel für die vorschüssige Rente ist dann:
\( K_{n}^{\text {vor }}=r \cdot q \cdot \frac{b^{n}-q^{n}}{b-q} \)
