Ein ungewöhnliche Zinseszins-Formel benötigt

Question

meine Frage ist verwandt mit dem Zinseszins hat aber einen bedeutenden Unterschied.

Normalerweise kennt man 3 dieser 4 Faktoren (Anfangskapital, Endkapital, Zinseszins, Anzahl Jahre) und mit der Zinseszinsformel kann man einfach den fehlenden 4. berechnen.

In meinem Fall kenne ich aber nur 2 der oben genannten Faktoren: Anfangskapital und Anzahl Jahre. Ich möchte den Zinseszins berechnen, ohne das Endkapital zu wissen. Stattdessen kenne ich den ARITHMETISCHEN DURCHSCHNITT der Kapitalwerte in jedem Jahr.

Beispiel:

Anfangskapital im Jahr 0 ist 100 EUR. Anlagezeit ist 5 Jahre.

Nun kenne ich den Endkapital nicht, aber weiß, das der Durchschnitt der Kapitale in den Jahren 0 bis 5 ist 110.

Wie viel ist der Zinseszins? Wie hoch das Kapital im Jahr 5?

Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe.

Answer 1

Nun kenne ich den Endkapital nicht, aber weiß, das der Durchschnitt der Kapitale in den Jahren 0 bis 5 ist 110.

1/5·(100 + 100·q + 100·q² + 100·q³ + 100·q⁴) = 110

Bei kontinuierlicher Verzinsung:

        1/5 · ∫_0..5 100·q^t dt = 110.

Comments

Vielen Dank, Oswald - das ging ja schneller als blitzschnell :-)

Ich erlaube mir eine Korrektur:

1/5·(100 + 100·q + 100·q2 + 100·q3 + 100·q4 + 100·q5) = 110

Oder t * (K + Kq + Kq^2 + Kq^3 + ... + Kq^t) = K_d

Wo t = Anzahl Jahre, K = Anfangskapital, K_d = Durchnschnitt

Wie kann man jetzt die Formel umbauen, sodass man q berechnen kann? (muss es in Excel eingeben)

Danke noch mal

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1/5·(100 + 100·q + 100·q² + 100·q³ + 100·q⁴ + 100·q⁵) = 110

Du hast dahingehend recht, dass tatsächlich 100 als Faktor verwendet werden muss, nicht 110 wie ich ursprünglich geschrieben hatte.

Allerdings ist der Summand 100·q⁵ zu viel. Die Beträge 100, 100q, 100q² etc. liegen jeweils ein Jahr lang auf dem Konto. Der Betrag 100·q⁵ tut das nicht, weil sobald der Betrag 100·q⁴ auf 100·q⁵ angewachsen ist, die Laufzeit beendet ist.

Wie kann man jetzt die Formel umbauen, sodass man q berechnen kann?

Taschenrechner.

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Ja, Du hast völlig Recht. Es geht bis q^(t-1).

Answer 2

1/n * K * ∑ (i = 1 bis n) (q^{i - 1}) = D

1/n * K * (q^n - 1)/(q - 1) = D

Das Problem an dieser Gleichung ist, dass q in einer beliebigen Potenz auftritt. Das ließe sich dann nicht durch eine einfache Formel lösen. Meist würde man hier wohl zur Lösung ein Näherungsverfahren verwenden.