Liebe Community!
Bei folgender Aufgabe brauche ich auf Grund von erneut ausgefallen Vorlesungen eure Hilfe:
Bisher haben wir Lösungen der homogenen Gleichung besprochen. Um die Lösungsmenge \( L \) der inhomogenen Gleichung zun bestimmen, suchen wir noch eine einzelne partikuläre Lösung \( y_{p} \in L \) der inhomogenen Gleichung. Die Methode der Variation der Konstanten kann auch für Differentialgleichungen höherer Ordnung angewendet werden. Auf diese Weise lässt sich die folgende partikuläre Lösung \( y_{p} \) der inhomogenen Gleichung für die Anfangsvorgaben \( y_{p}\left(t_{0}\right)=\dot{y}_{p}\left(t_{0}\right)=0 \) ableiten:
\[y_{p}(t)=C_{1}(t) y_{1}(t)+C_{2}(t) y_{2}(t) \quad C_{1}(t)=-\int \limits_{t_{0}}^{t} \frac{y_{2}(\xi) g(\xi)}{W(\xi)} d \xi \quad C_{2}(t)=+\int \limits_{t_{0}}^{t} \frac{y_{1}(\xi) g(\xi)}{W(\xi)} d \xi\]
wobei \( W(t)=y_{1}(t) \dot{y}_{2}(t)-\dot{y}_{1}(t) y_{2}(t) \) die Wronski-Determinante des Fundamentalsystems \( \left\{y_{1}, y_{2}\right\} \) ist. Prüfen Sie durch Einsetzen, dass \( y_{p} \) tatsächlich dieses Anfangswertproblem löst.
Meine Ideen wären: \(y_p\) zweimal ableiten, dann in die Differentialgleichung einsetzen. Alle Terme bis auf das \(W(t)\) sollten sich dann streichen, wenn mann die Anfangswerte \(y_p = 0 \) und \(\dot{y_p} = 0 \) einsetzt. Bei der 2. Ableitung müssten sich alle Terme rausstreichen, weil genau die Wronski-Determinante rauskommen sollte, die sich anschließend rauskürzt.
Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe!
