Resonanzfall bei einer erzwungenen Schwingung

Question

Aufgabe:

Höhere Mathematik 2

Problem/Ansatz:

Ein schwingungsfähiges mechanisches System (Modell: elastisches Federpendel oder Feder-MasseSchwinger) mit der Masse \( m \) und der Eigenkreisfrequenz \( \omega_{0} \) wird durch eine periodisch von der Zeit \( t \) abhängige äußere Kraft mit der Gleichung
\( F(t)=F_{0} \cdot \sin (\omega t), \quad t \geq 0 \)
zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Das System schwingt dann nach Ablauf einer gewissen Einschwingphase mit der von außen aufgezwungenen Erregerkreisfrequenz \( \omega \), wobei die Schwingungsamplitude \( A \) noch wie folgt von dieser Kreisfrequenz abhängt:
\( A=A(\omega)=\frac{F_{0}}{m \sqrt{\left(\omega-\omega_{0}\right)^{2}+4 \delta^{2} \omega^{2}}}, \omega>0 \)
( \( \delta>0 \) : Dämpfungsfaktor).
Bei welcher Kreisfrequenz \( \omega_{R} \) schwingt das System mit größtmöglicher Amplitude (sog. Resonanzfall)?

Answer 1

Aloha :)

Mit Hilfe der Kettenregel finden wir:$$A'(\omega)=\frac{F_0}{m}\frac{d}{d\omega}\left(\left((\omega-\omega_0)^2+4\delta^2\omega^2\right)^{-1/2}\right)$$$$\phantom{A'(\omega)}=-\frac{1}{2}\frac{F_0}{m}\left((\omega-\omega_0)^2+4\delta^2\omega^2\right)^{-3/2}\cdot\left(2(\omega-\omega_0)+8\delta^2\omega\right)$$Das Monster wird genau dann null, wenn der Zähler null wird:$$\left.2\omega_R-2\omega_0+8\delta^2\omega_R\stackrel!=0\quad\right|+2\omega_0$$$$\left.2\omega_R+8\delta^2\omega_R=2\omega_0\quad\right|:\,2$$$$\left.\omega_R+4\delta^2\omega_R=\omega_0\quad\right|\text{links \(\omega_R\) ausklammern}$$$$\left.\omega_R(1+4\delta^2)=\omega_0\quad\right|:\,(1+4\delta^2)$$$$\left.\omega_R=\frac{\omega_0}{1+4\delta^2}\quad\right.$$