Bestimmen einer partikulären Lösung einer DGL 2ter Ordnung mittels Polynom

Question

Aufgabe: Bestimmen einer partikulären Lösung einer Dgl 2ter Ordnung mittels Polynom

Gegeben die DGL zweiter Ordnung: x'' – 1/k² · x = 1/2k² · t

Die Partikuläre Lösung ist x₀(t)= - 1/2 · t

Hierbei wird erwähnt dass man alternativ, wenn die Lösung nicht abgelesen werden kann, diese mittels linearen bzw. quadratischen Polynom ermittelt werden kann. Die Schritte wurden wie folgt angegeben:

x(t)= α+ βt (+γt²)             ->                          x'' - 1/k² · x = 1/2k2 · t                      t⁰ : α=0

x'(t)= β(+2γ)                    ->                                                                           <->  t¹: β= -1/2

x''(t)= 0(+2γ)                    ->                           0 - 1/k2 (α+βt)=  1/2k2 · t

Mit diesem Vorgehen soll die partikuläre Lösung x₀(t)= - 1/2 · t , ebenfalls bestimmt werden können.

Problem/Ansatz:

Was wird hier mittels Polynom getan? auch wenn man hier die partikuläre Lösung ohne bestimmen kann würde ich gerne den Lösungsansatz mittels Polynom verstehen. Also grundsätzlich wird das x ja substituiert aber beim rest verstehe ich gar nichts

Answer 1

$$ x(t) = a + bt + ct^2  $$ Daraus $$ x'(t) = b + 2ct $$ und $$  x''(t) = 2c $$ Einsetzen ind die Dgl. ergibt $$ 2c - \frac{1}{k^2} \left( a + bt + ct^2 \right) = \frac{1}{2 k^2} t $$ Daraus folgt \( c = 0 \) weil es keine Terme mit \( t^2 \) gibt. \( b = -\frac{1}{2} \) durch Vergleich der Terme mit \( t \). Und wegen \( c = 0 \) fogt auch \( a = 0 \)

Comments

viele Dank erstmal für die schnelle Rückmeldung.

Ich bin mir nur unsicher, ob das meine Frage beantwortet.

Ich verstehe nicht wie man auf der Basis des DGL:

x'' – 1/k2 · x = 1/2k2 · t   , dann die partikuläre Lösung x0(t)= - 1/2 · t erhält. Die oben dargestellten Schritte, sind die Schritte, die der Prof gemacht hat um das ganze mithilfe des Polynoms zu bestimmen. Diese Schritte verstehe ich leider nicht.

---

Das Polynom ableiten und in die Dgl. einsetzten. Danach nach Potenzen von \( t \) vergleichen. Die Koeffizienten vor den den Potenzen von \( t \) müssen auf der linken und rechten Seite der Gleichung gleich sein.

---

Ahh vielen vielen dank