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Aufgabe: Bestimmen einer partikulären Lösung einer Dgl 2ter Ordnung mittels Polynom

Gegeben die DGL zweiter Ordnung: x'' – 1/k2 · x = 1/2k2 · t

Die Partikuläre Lösung ist x0(t)= - 1/2 · t

Hierbei wird erwähnt dass man alternativ, wenn die Lösung nicht abgelesen werden kann, diese mittels linearen bzw. quadratischen Polynom ermittelt werden kann. Die Schritte wurden wie folgt angegeben:

x(t)= α+ βt (+γt2)             ->                          x'' - 1/k2 · x = 1/2k2 · t                      t0 : α=0

x'(t)= β(+2γ)                    ->                                                                           <->  t1: β= -1/2

x''(t)= 0(+2γ)                    ->                           0 - 1/k2 (α+βt)=  1/2k2 · t

Mit diesem Vorgehen soll die partikuläre Lösung x0(t)= - 1/2 · t , ebenfalls bestimmt werden können.

Problem/Ansatz:

Was wird hier mittels Polynom getan? auch wenn man hier die partikuläre Lösung ohne bestimmen kann würde ich gerne den Lösungsansatz mittels Polynom verstehen. Also grundsätzlich wird das x ja substituiert aber beim rest verstehe ich gar nichts

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1 Antwort

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$$ x(t) = a + bt + ct^2  $$ Daraus $$ x'(t) = b + 2ct $$ und $$  x''(t) = 2c $$ Einsetzen ind die Dgl. ergibt $$ 2c - \frac{1}{k^2} \left( a + bt + ct^2 \right) = \frac{1}{2 k^2} t $$ Daraus folgt \( c = 0 \) weil es keine Terme mit \( t^2 \) gibt. \( b = -\frac{1}{2} \) durch Vergleich der Terme mit \( t \). Und wegen \( c = 0 \) fogt auch \( a = 0 \)

Avatar von 39 k

viele Dank erstmal für die schnelle Rückmeldung.

Ich bin mir nur unsicher, ob das meine Frage beantwortet.


Ich verstehe nicht wie man auf der Basis des DGL:

x'' – 1/k2 · x = 1/2k2 · t   , dann die partikuläre Lösung x0(t)= - 1/2 · t erhält. Die oben dargestellten Schritte, sind die Schritte, die der Prof gemacht hat um das ganze mithilfe des Polynoms zu bestimmen. Diese Schritte verstehe ich leider nicht.

Das Polynom ableiten und in die Dgl. einsetzten. Danach nach Potenzen von \( t \) vergleichen. Die Koeffizienten vor den den Potenzen von \( t \) müssen auf der linken und rechten Seite der Gleichung gleich sein.

Ahh vielen vielen dank

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