Wahrscheinlichkeit Bsp. Wie lang muss Nagel sein, damit er zu den 10% kürzesten gehört? Taschenrechner

Question

Aufgabe:

Eine Maschine erzeugt Nägel mit einer durchschnittlichen Länge von μ = 50 mm. Die Länge der Nägel ist normalverteilt, die Standardabweichung beträgt σ = 2,5 mm.

a) Wie viel Prozent aller Nägel sind kürzer als 48 mm? (21,19 %)

b) Wie viel Prozent aller Nägel sind länger als 51 mm? (34,46 %)

c) Wie viel Prozent aller Nägel sind zwischen 48 und 51 mm lang? (44,35 %)

d) Wie lang muss ein Nagel sein, damit er zu den 10 % kürzesten gehört? (46,8 mm)

e) Wie lang muss ein Nagel sein, damit er zu den 20 % längsten gehört? (52,1 mm)

f) In welchem symmetrisch um den Erwartungswert gelegenen Bereich liegt die Länge von 95 % aller Schrauben? (Welche Toleranzgrenzen muss man setzen, wenn der Ausschussanteil maximal 5 % sein soll?) (X₁ = 45,1 mm; X₂ = 54,9 mm)

Wie löst man 3 d, e und f mit hilfe des Taschenrechners TI-84 Plus, oder auch händisch?

Comments

Bedienst du deinen Taschenrechner nicht händisch?

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Der Mathelehrer macht Nägel mit Köpfen und veranschaulicht die Normalverteilung. Der kluge Schüler merkt, dass so eine Normalverteilung symmetrisch ist und es darum mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in der Welt des Mathelehrers auch Nägel mit negativer Länge geben muss. Der ganz kluge Schüler reibt das dem Mathelehrer nicht unter die Nase, weil er annimmt dass das nicht gut ankommt, und gerechnet hat dass die Wahrscheinlichkeit so klein ist, dass es nicht genügend Nägel im Universum gibt, als dass das Auftreten solcher surrealer Nägel ernsthaft zu erwarten wäre.

Answer 1

Rechnet ihr die Normalverteilung mit NormalCD auf dem Taschenrechner oder lest ihr die Werte der Standardnormalverteilung aus einer Tabelle ab.

Letzteres machen ich mal vor, weil wenn man mit dem TR über NormalCD rechnet braucht man eigentlich nur die Grenzen, Erwartungswert und Standardabweichung eingeben und der TR macht den Rest.

a) Φ((48 - 50)/2.5) = Φ(-0.8) = 0.2119 = 21.19%

b) 1 - Φ((51 - 50)/2.5) = 1 - Φ(0.4) = 1 - 0.6554 = 0.3446 = 34.46%

c) Φ((51 - 50)/2.5) - Φ((48 - 50)/2.5) = Φ(0.4) - Φ(-0.8) = 0.6554 - 0.2119 = 0.4435 = 44.35%

d) Φ(k) = 1 - 0.1 --> k = 1.282

50 - 1.282·2.5 = 46.80 --> höchstens 46.80 mm

e) Φ(k) = 1 - 0.2 --> k = 0.842

50 + 0.842·2.5 = 52.11 --> mindestens 52.11 mm

f) Φ(k) = 0.5 + 0.95/2 --> k = 1.960

[50 - 1.960·2.5, 50 + 1.960·2.5] = [45.1, 54.9] mm

Bitte versuche die Wahrscheinlichkeiten anhand der Folgenden Normalverteilung nachzuvollziehen

Comments

Will der Mathecoach uns mitteilen, dass die unterschiedlichen Grüns die Anzahl Standardabweichungen bedeuten sollen?

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Das hast du gut erkannt.

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Dann solltest du es auch tun.

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Ich denke man kann das 1-, 2- und 3-σ-Intervall gut erkennen.

Was meinst du sollte ich noch tun?

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Sagen, dass die unterschiedlichen Grüns die Anzahl Standardabweichungen bedeuten sollen.

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Das hast du ja schon erkannt. wer es im Unterricht hatte wird es erkennen.

Viele Schüler könnten bereits die Intervalle an einer guten Zeichnung am Wendepunkt und der 99% Fläche unterhalb des Graphens ablesen.

Da bräuchte ich die Grüns nicht mal einzeichnen.

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Du hast sie aber eingezeichnet. Und nicht gesagt, was es ist.

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Wer Interesse hat wird sich damit schon beschäftigen auch ohne das ich es groß erkläre. Ich habe festgestellt, wenn ich bei Hypothesentest meine Schüler immer eine Gaußkurve bei den Aufgaben skizzieren lasse, das die Schüler es dann wesentlich besser verstehen was sie da machen.

Anhaltspunkte zum Skizzieren ist also das 3-σ-Intervall, die Wendepunkte am Rand des 1-σ-Intervalls und Der Extrempunkt beim Erwartungswert.

Da ich obige Aufgabe nicht nur hier gelöst habe, sondern auch zur Abivorbereitung verwende habe ich das entsprechend markiert. Meine Schüler wissen also was das ist und auch wie sie es selber skizzieren könnten, wenn es darauf ankommt.

Answer 2

Ich verwende beim meinem Antwortvorschlag die Integration der Glockenkurve, wie schon bei der Aufgabe https://www.mathelounge.de/335510/intervall-verteilte-zufallsgrosse-wahrscheinlichkeit-lautet (dieses Mal aber hoffentlich ohne Vertipper).

3d) Von der gesuchten unteren Intervallgrenze bis 50 mm liegen 40% des Integrals / Wahrscheinlichkeit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[1%2F%282.5+Sqrt[2+Pi]%29*E^%28-1%2F2+%28%28x-50%29%2F2.5%29**2%29,+{x,+50-a,+50}]+%3D+0.4

50 mm - 3,2 mm = 46,8 mm

3e) Von 50 mm bis zur gesuchten oberen Intervallgrenze liegen 30% des Integrals / Wahrscheinlichkeit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[1%2F%282.5+Sqrt[2+Pi]%29*E^%28-1%2F2+%28%28x-50%29%2F2.5%29**2%29,+{x,+50,+50%2Ba}]+%3D+0.3

50 mm + 2,1 mm = 52,1 mm

3f) Zwischen den Intervallgrenzen liegen 95% des Integrals / Wahrscheinlichkeit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[1%2F%282.5+Sqrt[2+Pi]%29*E^%28-1%2F2+%28%28x-50%29%2F2.5%29**2%29,+{x,+50-a,+50%2Ba}]+%3D+0.95

50 mm +/- 4,9 mm = 45,1 mm .. 54,9 mm