Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U( x1 , x2 )= x1 0.8 x2 0.5

Question

Hallo habe jetzt alles zwei mal durchgerechnet aber komm immer auf 0 für das Ergebnis :(

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U( x1 , x2 )= x1 0.8 x2 0.5 . Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1 =5 und p2 =0.5 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=720. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion. Wie hoch ist die Menge x2 in diesem Nutzenoptimum?

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Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet  U( x1 , x2 )= x1^0.8 *2^0.5 . Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1 =5 und p2 =0.5 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=720. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion. Wie hoch ist die Menge x2 in diesem Nutzenoptimum?

Habe die Lagrange aufgestellt und die Nebenbedingung
Largange mit der Nebenbedingung ausgerechnet
Danach die zwei ergebnisse gleichgesetzt
x rausbekommen und dies dann in die nebenbedingung eigesetzt
Leider komme ich auf 0 als Ergebnis

kann mir jemand weiterhelfen?

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Du wurdest in der anderen Frage bereits gefragt wie dein Ansatz aussieht. Bitte keine gleichen Fragen neu einstellen.

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Wollte die Frage löschen, habe es aber nicht mehr hinbekommen,  mein Ansatz steht :)

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Steht dein Ansatz und auch die Lösung ?

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Meine Lösung =0

Leider ist das falsch

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Ich habe dir mal meine Lösung gepostet

https://www.mathelounge.de/335946/die-nutzenfunktion-eines-individuums-lautet-x1-x2-x1-8-x2-0-5

Answer 1

Schau mal ob du mit den ähnlichen Aufgaben, das bereits lösen kannst.

https://www.mathelounge.de/6290/nutzenfunktion-lagrange-verfahren-erreichende-nutzenniveau

Wenn Probleme bestehen schreibe hier mal deinen Ansatz rein.

Comments

leider komme ich nicht auf das richtige ergebnis :(

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Wie sieht dein Ansatz aus?

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Ganz allgemein vorerechnet sieht das wie folgt aus

Nutzenfunktion: U(x, y) = x^a·y^b

Preis für x ist p ; Preis für y ist q ; Budget m

Nebenbedingung: p·x + q·y = m --> y = (m - p·x)/q

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Lagrange Funktion: L = x^a·y^b - k·(p·x + q·y - m)

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dL / dx = a·x^{a - 1}·y^b - k·p = 0 --> k = a·x^{a - 1}·y^b/p

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dL / dy = x^a·b·y^{b - 1} - k·q = 0

x^a·b·y^{b - 1} - (a·x^{a - 1}·y^b/p)·q = 0

x^a·b·((m - p·x)/q)^{b - 1} - (a·x^{a - 1}·((m - p·x)/q)^b/p)·q = 0

x = a·m/(p·(a + b))

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y = (m - p·x)/q

y = (m - p·(a·m/(p·(a + b))))/q

y = b·m/(q·(a + b))

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Wenn ich hier einsetze komme ich auf

y = b·m/(q·(a + b)) 

y = 0.5·720/(0.5·(0.8 + 0.5)) = 553.8 ME

Kommt das mit der Lösung hin? Kann aber sein dass ich auch einen Umrechnungsfehler irgendwo habe.

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Ich versuche ea jetzt nochmal selbst zu rechnen vielen dank

Answer 2

Hauptbedingung machst du am besten logaritmisch; dann separiert das Problem .



     
    U  (  x1  ;  x2  )  :=  x1  ^  4/5  sqr  (  x2  )       (  1a  )

    F  (  x1  ;  x2  )  :=  ln  (  U  )  =  4/5  ln  (  x1  )  +  1/2  ln  (  x2  )        (  1b  ) 




     Nebenbedingung




    G  (  x1  ;  x2  )  := 5  x1  +  1/2  x2  =  const  =  720     (  1c  )




     Den Lagrangeparameter von ( 1c ) nenne ich ( - k ) ; das Minuszeichen nur aus Gründen der Konvention. Wir haben demnach die Linearkombination zu bilden




         H  (  x1  ;  x2  )  :=   F  (  x1  ;  x2  )  -  k  G  (  x1  ;  x2  )         (  2a  )




    Notwendige Bedingung für Maximum: Der Gradient von H verschwindet .




     H_x1  =  4 / 5 x1  -  5  k  =  0  ===>  k  =  4 / 25 x1         (  2b  )

     H_x2  =  1/2  (  1 / x2  -  k  )  =  0  ===>  k  =  1 / x2     (  2c  )

     x2  =  25/4  x1      (  2d  )



      (  2d  )  wird eingesetzt in ( 1c )



       (  5  +  25/8  )  x1  =  720     |  :  5      (  3a  )



      Kürzen ist wichtiger als zusammen Fassen; bei mir würd ' s ja Strafpunkte hageln ohne Ende.


  
     13/8  x1  =  144            (  3b  )