Warum kann ich nicht einfach substituieren? int tan^8 x

Question

Warum kann ich nicht einfach das Integral durch Substitution lösen:

$$ \int \tan^8 x ~dx\\ u=\tan x\\\int u^8 \frac{du}{\sec^2{x}}=\frac{tan^9x}{9\cdot\sec^2{x}} $$

Sondern muss den sehr umständlichen Rechenweg führen, habe inzwischen das korrekte Ergebnis heraus, zumindest stimmt es mit dem Online-Rechner für Ableitungen überein :) Aber warum funktioniert es mit der Substitution nicht?

Answer 1

Du hast noch sec^2(x) im Integranden mit du.

Ziel einer Substitutiion sollte sein, dass mit dem dx auch alle x verschwinden und dann nur noch u und du vorkommen.

Es kann formal mal Zwischenschritte mit Mischungen geben, aber da muss sich die Variable die substituiert wurde dann im Integranden irgendwie entfernen lassen. Z.B. durch Kürzen.

Erst dann darfst du integrieren.

Comments

Ich dachte, dass das Integral nach der Substitution nur von u abhängt und der Term mit x, wie eine konstante behandelt werden kann. Warum kann man x nicht als Konstante behandeln?

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u = tan(x)

Wie kommst du darauf das wenn du u verändern kannst das x immer konstant bleibt ?

Answer 2

Du hast dann in deinem Integral die Variablen x und u stehen ?

Du müsstest zunächst auch das x noch wieder durch u ausdrücken.

Answer 3

ich empfehle Dir hier  eine sog. Rekursionsformel im Tafelwerk zu benutzen.

(Rechenweg ist sonst zu lang)

Woher kommt eigentlich diese Aufgabe?

Comments

Hallo Groesserloewe, die Aufgabe habe ich mir ausgedacht :)

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das dachte ich mir. Solche Aufgabe wird im Allgemeinen nicht gestellt

:-)