Berechnungen Kegel / Kreis

Question

aus einem kreisförmigen stück Papier mit dem Durchmesser 48 cm soll ein Segment ausgeschnitten werden und ein Kegel mit maximalem Volumen konstruiert werden.

wie hoch ist der kegel?

wie groß ist der Radius des Kegels?

wie groß ist das volumen des kegels?

wie groß ist der winkel zwischen den beiden schnittlinien des herausgeschnittenen Sektors?

Answer 1

Das Volumen eines Kegels ist 1/3 Pi r^2 h

wobei der Radius r der Kegelgrundfläche sich hier per Pythagoras berechnet als Quadratwurzel von (48/2)^2 - h^2.

Das maximale Volumen gibt sich bei h = 24/Sqrt(5) = 10,7..., der Radius ist dann die Quadratwurzel von 451 = 21,2... und der Umfang 133,4... Das ist die Länge des Kreisbogens des Sektors, der aus dem Papier ausgeschnitten wird um den Kegel herzustellen. Das kreisförmige Papier hat einen Umfang von 48 * Pi = 150,8... und somit wird ein Sektor von 133,4 / 150,8 von 360 Grad ausgeschnitten, das sind 318 Grad.

Comments

Da habe ich falsch in die Tasten gehauen. Beim letzten Abschnitt bitte ersetzen:

h = 8 / Sqrt(3) = 13,9...

Quadratwurzel von 384 = 19,6... und der Umfang 123,1...

Sektor von 123,1 / 150 /8 von 360 Grad ausgeschnitten, das sind 294 Grad.

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Sind wir uns denn einig darüber was auszurechnen war ?

"wie groß ist der winkel zwischen den beiden schnittlinien des herausgeschnittenen Sektors?"

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Die Frage ist, welcher Sektor wird "herausgeschnitten", der große mit dem man den Kegel baut, oder der kleine der übrig bleibt. Der Kreis wird einfach in zwei Sektoren zerschnitten. Und ob "zwischen" auch >180 Grad sein kann.

In einer Welt in der es Nägel mit negativer Länge gibt, ist vieles möglich.

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Ich finde das sehr klar gesagt. 

Aber wenn du an Nägel mit einer negativen Länge und an den Weihnachtsman glaubst ist das deine Sache.

Answer 2

d = 48 --> r = 24

Grundfläche (α ist hier im Bogenmaß gerechnet)

U = 24·α

r = 24·α / (2·pi) = 12·α/pi

Höhe des Kegels (nach Pythagoras)

h = √(24^2 - (12·α/pi)^2) = √(576 - 144·(α/pi)^2)

Volumen

V = 1/3·pi·r^2·h = 1/3·pi·(12·α/pi)^2·√(576 - 144·(α/pi)^2) = 576·α^2/pi^2·√(4·pi^2 - α^2)

V' = 576·α·(8·pi^2 - 3·α^2)/(pi^2·√(4·pi^2 - α^2)) = 0 --> α = 2/3·√6·pi = 293.9°

360 - 293.9 = 66.1°

Comments

Bei 66 Grad komme ich auf einen Radius der Kegelgrundfläche von 4,4 und die Höhe ergibt sich aus Wurzel von 24^2 - 4.4^2 d.h. 23.6

Das Kegelvolumen beträgt etwa 478.

Nimmt man wie in meiner Antwort vorgeschlagen einen Sektor von 318 Grad, komme ich auf ein Kegelvolumen von rund 5036.

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Ich komme auf ein Kegelvolumen von ca. 5570.

Vielleicht prüfst du deine Rechnung noch mal genau.

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Aber wir sind uns einig, dass der Kegel mit dem großen Stück hergestellt wird.

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Ich rechne nochmals etwas einfacher

h = √(24^2 - r^2)

V = 1/3 * pi * r^2 * h = 1/3 * pi * r^2 * √(24^2 - r^2) = pi·r^2·√(576 - r^2)/3

V' = pi·r·(1152 - 3·r^2)/(3·√(576 - r^2)) = 0 --> r = 8·√6 

u = 2 * pi * 8·√6 = 16·√6·pi

2 * pi * 24 * α/360 = 16·√6·pi --> α = 120·√6 = 293.9°

360 - 293.9 = 66.1°

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Aber wir sind uns einig, dass der Kegel mit dem großen Stück hergestellt wird. 

Sicher sind wir uns einig. Auch wenn das nicht gefragt war.

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Dann sind wir uns einig, und ich bitte meine Rundungsfehler zu entschuldigen.

Answer 3

  Der Kreisradius sei R ; der Kegel habe Radius r so wie Höhe h . Ich substituiere noch



     z  :=  r  ²       (  1a  )
 


     Hauptbedingung; größtes Volumen



    V  (  z  ;  h  )  =  z  h  =  max     (  1b  )





     Nebenbedingung: Pythagoras




     P  (  z  ;  h  ) =  z  +  h  ²  =  R  ²  =  const      (  1c  )



    Zum Einsatz kommt das Verfahren des Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino. Den ===> Lagrangeparameter ( LP ) von ( 1c ) nenne ich ( - k ) ; das Minuszeichen nur aus Gründen der Konvention. Wir müssen demnach die ===> Linearkombination bilden



   H  (  z  ;  h  )  :=  V  (  z  ;  h  )  -  k  P  (  z  ;  h  )       (  2a  )  



   Notwendige Bedingung für Maximum: Der ===> Gradient von H verschwindet .




     H_z  =  h  -  k  =  0  ===>  k  =  h     (  2b  )



    Anschaulich bedeutet der LP also die Höhe des Kegels.



     H_h  =  z  -  2  h  k  =  0       (  2c  )



    Jetzt in ( 2c ) den Dummy k einsetzen aus ( 2b ) so wie ( 1a ) berücksichtigen



       r  =  h  sqr  (  2  )       (  3a  )
     
      tg  (  ß  )  =  sqr  (  2  )        (  3b  )


   wobei ß den Öffnungswinkel des Kegels darstellt.
   Und jetzt zu dem Winkel µ des Kreisausschnitts. ( Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " ; das " Volumen hat einen Hochpunkt " Ich kann es auch; es heißt Kreisausschnitt, nicht Kreissektor. )




           2  Pi  r  =  µ  R       (  3c  )



    Was hier effektiv angesagt ist . ( 3a ) nach h umstellen und anschließend in ( 1c ) einsetzen ergibt r als Funktion von R




       r  =  1/3  R  sqr  (  6  )   |  *  2  Pi      (  4a  )

   2  Pi  r  =  ( 2 Pi / 3 )  R  sqr  (  6  )      (  4b  )



   Vergleiche ( 4b ) mit ( 3c ) ; das sind 120 ° * sqr ( 6 ) = 294 °

   EIN GLÜCK DÖSCHÖWÖ : du hättest dieses forum wohl nicht lebend verlassen . . .
  Auch die übrigen Parameter bitte als Funktion von R anschreiben .