Teilmengen von R abgeschlossen und/oder offen

Question

Ich hoffe jemand kann mir bei folgendem Problem helfen. Und zwar betrachtet man ℝ mit der Standardmetrik d(x,y) = abs(x-y)

Nun ist die Teilmenge M von ℝ gegeben als: M = {1/(n+1) : n∈ℕ}

Ist diese Menge M nun abgeschlossen und/oder offen? Und was ist der Rand, das Innere und der Abschluss von M?

Gruss

Answer 1

also offen ist die schon mal nicht; denn sonst müsste es ja zu

jedem x aus M eine Umgebung von x geben, die ganz in M liegt.

Es ist aber 1 aus M, aber jede Umgebung von 1 enthält Zahlen > 1,

und die sind sicher nicht in M.

Abgeschlossen ist sie auch nicht; denn dann müsste IR \ M offen sein.

Aber IR \ M enthält die Zahl 0, und jede Umgebung von 0 enthält ein

Element von M, liegt also nicht ganz in IR \ M.

Ein innerer Punkt von M wäre einer, der eine Umgebung besitzt, die

ganz in M liegt. Gibt es nicht, also ist das Innere leer.

Abschluss :  Da fehlt in der Menge wohl nur die 0 also ist M ∪ {0} der Abschluss

und damit 0 einziger Randpunkt.

Comments

Hi mathef, vielen Dank für die Hilfe! Ist aber nicht 1/2 der grösste Wert in M? 0 ist ja nicht in den natürlichen Zahlen drin.

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Ist Geschmackssache, manche fangen schon mit 0 an, aber dann nimmst du

eben 1/2 statt 1.

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Ah ok alles klar danke!

Wenn ich jetzt eine Menge hätte wie z.B. M = [1,2] ∪ (3,6] dann kann ich gleich argumentieren wie du oben oder? Ist auch nicht offen und nicht abgeschlossen?

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Ist wohl so ähnlich. Wenn die 3 dabei wäre, wäre es abgeschlossen.