Hallo
habe folgende Aufgabe vor mir:
Entscheiden Sie, ob folgende Mengen M in R^2 offen bzw. abgeschlossen sind. Bestimmen Sie Rand, Abschluss und Inneres der Mengen.
a) $$ M = { (\frac{1}{n^2},0):n\in \mathbb{N}} $$
b) $$ M = { (x,y) : x \geq cos(y)} $$
Problem/Ansatz:
a) nicht offen, da 1 in M aber der Ball mit Radius Epsillon um 1 herum für Epsillon > 0 ,wegen 1+ Epsillon > 1, also 1+Epsillon nicht in M, somit ist M nicht offen.
nicht geschlossen, da 1/n^2 in M für jedes n aus N und 1/n^2 -> 0 für n gegen unendlich, also ist M wegen 0 nicht aus M nicht abgeschlossen. Richtig?
Und nun weiß ich leider nicht wie ich Rand, Abschluss und Inneres dieser Menge bestimme.
b) bei dieser Menge weiß ich leider nicht weiter. Würde aber behaupten, dass sie nicht offen ist, da für x = cos(y) ebenfalls ein Ball um diesen Punkt existiert, in dem Punkte außerhalb dieser Menge enthalten sind?
Andererseits abgeschlossen weil Rand enthalten ist durch >=?
Hier ebenfalls Probleme beim Bestimmen der gesuchten Mengen.
