Berechnen Sie det An für n=1, 2, 3, 4. Geben Sie eine explizite Formel für det An mit n∈ℕ an und beweisen Sie diese.

Question

(a) Für jedes \( n \in \mathbb{N} \) definieren wir die folgende Matrix:

\( A_{n}=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{array}\right) . \)

Es gilt also \( A_{1}=(1), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 0\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right) \) und \( A_{4}=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \).

Berechnen Sie \( \operatorname{det} A_{n} \) für \( n=1,2,3,4 \).

(b) Geben Sie eine explizite Formel für \( \operatorname{det} A_{n} \) mit \( n \in \mathbb{N} \) an und beweisen Sie diese.

Answer 1

DET A1 = 1
DET A2 = -2
DET A3 = -6
DET A4 = 24

Bei Entwicklung nach der n. Spalte ergibt sich

DET An = (-1)^{1+n} * n * DET An-1

Als explizite Formel findet man z.B.
DET An = n! * -1^n·(n-1)/2

Einen Nachweiß über die vollständige Induktion könntest du ja selber mal probieren.

Man zeigt das es für n=1 gilt und darauf aufbauend dann das es dann auch für n+1 gilt wenn es für n gilt.

Comments

Hab beim Abschreiben wohl ein Fehler gemacht gehabt. Probier mal

DET An = n! * (-1)^n·(n-1)/2

_{^{Außerdem mag ich diese Caret Zeichen nicht :(}}

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Ok vielen Dank! :) wenn ich jetzt bei der vollständigen Induktion n+1 einsetze in die Formel. In was soll ich denn dann die Formel umformen, damit ich zeige, dass die für alle det An gilt ?

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Das sollte wohl ungefähr wie folgt aussehen.

det An+1 = det An * (n+1) * (-1)^n

jetzt noch für die Determinante die angenommene Formel einsetzen.