Wie löst man diese Differentialgleichung?

Question

Ich brauch Hilfe bei folgender Aufgabe:

Löse die Differentialgleichung und zeichne den Graphen der Lösungsfunktion: y'(t)= 0,2 (40-y(t)) mit y(0)=2

Hab die Stunden, wo wir dieses Thema in der Schule besprochen haben leider verpasst und kenne mich nun gar nicht aus.

Dankee für jede Hilfe

Comments

Was man heutzutage in der Schule ueber Dglen lernt, kann ich Dir auch nicht sagen. Viel kann es kaum sein. In den Stunden, die Du verschlafen hast, wurde wahrscheinlich der Typ y' + ay = b behandelt und die allgemeine Lösung y = b/a +Ce^-at mit einer beliebigen Konstanten C mitgeteilt. Verwende diese Formel einfach.

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@Gast ia2211:

>  In den Stunden, die Du verschlafen hast,

Was soll diese Unterstellung?

@Gast bj4100:

Aber seine Formel ist richtig. Wenn du es so nicht einfach machen darfst, vgl. meine Antwort.

Answer 1

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Hier eine Lösung, die nur auf Schulwissen aufbaut:

Die  DGL  f '(x) = a • f(x)   hat die allgemeine Lösung  y = c • e^ax   [ c∈ℝ] .

[ Wenn dir diese Tatsache nicht bekannt ist, vgl.  ganz unten ]

Für f '(x) = a • f(x) + b  = a • ( f(x) + b/a ) ergibt sich dann mit der 

Hilfsfunktion h(x) := f(x) + b/a) wegen h'(x) = f '(x):

h'(x) = a • h(x)   →  h(x) = c • e^ax   →  f(x) = c • e^ax  -  b/a   [ mit c∈ℝ ]

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In der Aufgabe also:  y'(t)= 0,2 (40-y(t)) 

                                 ⇔   y'(x) = - 0,2 y(t) + 8

allgemeine Lösung:  y(t) = c • e^-0,2·t + 40

mit y(0) = 2 →  c + 40 = 2 → c = -38

gesuchte Einzellösung:   y(t) = - 38 • e^-0,2·t + 40

Natürlich kann man auch das übliche Verfahren für lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten anwenden, das aber erst auf der Uni behandelt wird.

Für eine (rechnerisch etwas lästige) grundsätzliche Herleitung ohne die Voraussetzung in der 3. Zeile siehe hier:

https://www.mathelounge.de/334716/differentialgleichung-y-5-2y

Gruß Wolfgang