Isomorphismus zwischen Einheitswurzel und Restklassen modulo n

Question

Guten Tag liebe Freunde der Mathematik,

lange Zeit hatte ich mit Algebra nichts mehr zu tun und ich merke, dass ich doch etwas eingerostet bin. Folgendes Problem steht mir gegenüber:

Gegeben ist die einfache Gruppe als Teilmenge von ℂ

η_n(ℂ) := { e^(2πia)/n ; a ∈ ℤ }

Soweit so gut. Ich bin wahrlich kein Meister in der Zahlentheorie, doch auch als Jemand, der aus der Analysis kommt möchte ich gerne die Zusammenhänge bis ins kleinste Detail klären. An dieser Stelle nämlich stellt sich mir die Frage nach der Konstruktion eines Gruppenisomorphismus:

ℤ/nℤ ≅ η_n(ℂ)

Meine Überlegung wäre über ein größtes gemeinsames Vielfaches von a und n einen Homomorphismus zu finden und darauf die Bijektivität zu zeigen, was letztendlich ja die Lösung wäre. In dem Zusammenhang dachte ich an die primitiven Einheitswurzeln, deren ggT(a,n) = 1 sein müsste und deren n-te Einheitswurzeln als Potenz dargestellt werden. Genau hier komme ich aber nicht weiter, denn ich verstehe nicht ganz, in wie weit ich Potenzen konstruieren kann, um die Restklassen als Funktion in den Homomorphismus zu überführen. Aber vielleicht hat ja jemand eine ganz andere Idee für die Konstruktion eines solchen Isomorphismus. Ich wäre für jede Hilfe dankbar!

LG Ludolf

Answer 1

Ist es nicht so, dass die Gruppe ( ℤ/nℤ ; + ) isomorph zu (   η_n(ℂ)  ;  *  )   ist ???.

Dann wäre der Isomorphismus doch einfach

F :  ( ℤ/nℤ ; + )  →   (   η_n(ℂ)  ;  *  ) 

                a  ------------------>  e^(2πia)/n 

Comments

Alle Restklassen modulo n bilden auf e^(2πia)/n ab? Kannst du mir das genauer erklären?

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eine Restklasse modulo n kann immer vertreten werden durch

eine nat. Zahl a aus  { 0 ; 1 ; ... ; n-1 }

und bei den Einheitswurzeln ist es ebenso.

Und Isomorphie, weil beim addieren zweier Klassen

vertreten durch a und b die Klasse, a+b enthält rauskommt.

Etwa bei n= 6 hast du bei a=2 und b=5 als Summe der

Klassen die Klasse mit der 7 bzw. mit der 1.

Und wenn du die Einheitswurzeln mulripliziertst

wird aus  e^(2πi2)/6     *      e^(2πi5)/6 =   e^(2πi1)/6

Passt also

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Ah ich danke dir für die schnelle Antwort! Ich glaube ich komme der Antwort nun auf die Schliche, eine Frage habe ich aber noch! Und zwar wählst du n=6 nun gilt aber für die Elemente aus ℤ, dass sie kleiner n sein müssen, sprich bis n-1. Was genau passiert jetzt in diesem Beispiel, wenn ich 2+5 nehme, was ja größer als 6 ist?

"Etwa bei n= 6 hast du bei a=2 und b=5 als Summe der 

Klassen die Klasse mit der 7 bzw. mit der 1."

 Das hattest du ja geschrieben, aber wie genau kommst du zu der 1 ? Und gelten bei den Einheitswurzeln nicht die Potenzgesetze, weshalb im Exponenten bei der Exponentialfunktion (2πi14)/6 stehen müsste?

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gilt aber für die Elemente aus ℤ, dass sie kleiner n sein müssen, sprich bis n-1.

Das stimmt nicht ganz:  Für jede Klasse gibt es einen Vertreter, der

im Bereich 0 bis n-1 liegt.

Alle, die sich nur um ein Vielfaches von n unterscheiden, liegen in der

gleichen Klasse, also etwa bei  mod 6   { 1 ; 7 ; 13 ; 19 ; -5 ; ...... } bilden

eine Klasse, die durch jedes ihrer Elemente  repräsentiert werden kann.

Also  1quer    7quer     13quer    sind nur verschiedene Namen für die gleiche Klasse.

Etwa bei n= 6 hast du bei a=2 und b=5 als Summe der 

Klassen die Klasse mit der 7 bzw. mit der 1."    also  7quer 0der 1quer .

Und gelten bei den Einheitswurzeln nicht die Potenzgesetze, weshalb im Exponenten bei der Exponentialfunktion (2πi14)/6 stehen müsste? 

genau, aber das ist  (2πi7)/6   = (2πi6)/6  + (2πi1)/6

=  2πi  + (2πi1)/6    also die gleiche Zahl wie bei (2πi1)/6  

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Sehr gut! Ich danke dir, damit habe ich es wohl verstanden!