Beweise (pq)(A)=p(A)*q(A)

Question

seien \(p,q \in \mathbb{K}[t]\)

Beweise\( (pq)(A)=p(A)*q(A)\)

Answer 1

Du hast eine Definition für das Produkt von zwei Polynomen und Du kennst den Einsetzungshomomorphismus. Damit kannst Du's nachrechnen

Comments

Kannst du mir bei ersten Schritt helfen:

Wie schreibe ich (p+q)(a)= auf?

mit $$p(A)=p_0*E_n+p_1*A+.......+p_dA^d$$

und

$$q(A)=q_0*E_n+q_1*A+.......+q_dA^d$$

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Ist Dir eigentlich klar, was ein Polynom in einer Unbestimmten ist, und welchen Sinn diese Aufgabe hat?

Links sollst Du das Produkt von p und q nach Definition hinschreiben und dann A (offensichtlich hier eine Matrix) für die Unbestimmte eintragen.

Rechts sollst Du erst A in p und q einsetzen und dann das Produkt bilden. Hier sind die bekannten Rechenregeln für Matrizen zu benutzen, da p(A) und q(A) Matrizen sind und kein Polynom in einer Unbestimmten mehr.

Bonusfrage: Es kommt das Gleiche links wie rechts raus. Warum? Wo ist die Pointe?

PS: Das Produkt zweier Polynome in einer Unbestimmten \(t\), $$p=a_0+a_1t+a_2t^2+\cdots+a_nt^n$$ und $$q=b_0+b_1t+b_2t^2+\cdots+b_nt^n,$$ ist $$pq:=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)t+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)t^2+\cdots+a_nb_nt^{2n}.$$ Das ist eine Definition und nicht ausgerechnet!

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Bonusfrage: Es kommt das Gleiche links wie rechts raus. Warum? Wo ist die Pointe? 

Aus theoretischer Sicht könnte ich das nicht sagen, aber wenn ich es aufschreibe Schritt für Schritt kann ich es beweisen.