Beweise dass alle Faktoren p(t) teilen

Question

seien \(p(t) \in \mathbb{K}[t]\) und \(\lambda_1,.....,\lambda_r\) paarweise Nullstellen in \(\mathbb{K}\) von p. Dann gilt:

$$(t-\lambda_1)*......*(t-\lambda_r)|p(t)$$ in \(\mathbb{K}[t]\)

Beweise dieses Lemma.

Ich möchte es mit Induktion über r beweisen.

IA: r=1. dh

$$(t-\lambda_1)|p(t)$$

Wie kann ich das mit euklidischer Division zeigen?

Answer 1

Satz über Division mit Rest \( \Rightarrow \exists q(t) \in \mathbb{K}[t], r \in \mathbb{K}: p(t) = (x-\lambda_1) q(t) + r \). Was passiert wohl nun wenn du \(t= \lambda_1\) setzt?

Gruß

Comments

Kommt doch drauf an wie es definiert ist?!?  p(t) ist ja sicher 0 also muss ja der rechte Teil auch 0 geben.

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Was meinst du mit kommt drauf an wie es definiert ist? Einsetzen und den richtigen Schluß für \(r\) draus ziehen!

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Aha also ich weiss p(t)=0 also folgt

0=0+r also muss r=0 sein.

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Ja.