Zahlenkette/ Fibonacci (wieso ist die 1. zahl immer 2 mal und die 2. zahl 3 mal in der Zielzahl?)

Question

Hallo ich habe gerade eine Frage und es geht um Zahlenkette (5Perlen).

ich erstelle derzeit ein Detektivheft für die 3. Klasse in Mathe und es soll unter anderem um zahlenketten gehen. Dazu sollen die Kids die Zahlenketten erforschen und ihre Struktur erkennen. (Die ersten beiden Zahlen darfst du frei wählen. Die dritte Zahl ergibt sich dann als Summe der ersten und der zweiten Zahl. Die vierte Zahl ist die Summe der zweiten und der dritten Zahl, die fünfte Zahl die Summe der dritten und der vierten Zahl. Die fünfte Zahl wird auch Zielzahl genannt.)

Beispiel: 2 3 5 8 13

Wieso ist es immer so, dass die Zielzahl = 3* die 3 (2. Zahl) und 2* die 1. Zahl ist, ergo: 3*3=9 2*2=4 9*4 = 13 (Zielzahl)

Liebe Grüße und ich hoffe mir kann man weiterhelfen!

Answer 1

hast Du dir schon einmal überlegt, woraus die vorherigen Zahlen bestehen?

Vorschrift für die Zahlenreihe ist ja

\[a_n= a_{n-1} + a_{n-2} \]

mit \(a_0 \) und \( a_1\) gegeben.

Dadurch kann man \( a_n \) immer zurückführen auf:

\( a_n=  j  \cdot a_0 + k \cdot a_1 \) mit \( j, k \in \mathbb{N} \)

Für Deine Zielzahl (hier \( a_4\) ) gilt:

\( a_4= a_3 + a_2 \)

\( a_4= a_2+ a_1 + a_2 = 2 \cdot a_2 + a_1 \)

\( a_4= 2 \cdot ( a_1 + a_0 ) + a_1 = 3 \cdot a_1 + 2 a_0 \)

Auflistung bis \( a_6 \)

\( a_0 = 1 \cdot a_0 + 0 \cdot a_1  \)

\( a_1 = 0 \cdot a_0 + 1 \cdot  a_1 \)

\( a_2 = 1 \cdot a_0 + 1 \cdot a_1 \)

\( a_3 = 1 \cdot a_0 + 2 \cdot  a_1 \)

\( a_4 = 2 \cdot a_0 + 3 \cdot  a_1 \)

\( a_5 = 3 \cdot a_0 + 5 \cdot  a_1 \)

\( a_6 = 5 \cdot a_0 + 8 \cdot  a_1 \)

Wie man sehen kann bilden \( j \) und \( k \)  selbst wieder Fibonnacci Folgen, wenn man die beiden Startzahlen weglässt.

Gruß