Untergruppe einer abelschen Gruppe zeigen

Question

Gegeben sei mir eine abelsche Gruppe G und eine Gruppe U = { g ∈ G ; ord(g) ≤ 2}

Ich möchte nun zeigen, dass U eine Untergruppe von G ist. Mir ist durchaus bekannt in mehreren Formen, wie man eine Untergruppe definiert. Ich habe allerdings keine Ahnung, in wie weit die Ordnung eines Gruppenelements sich auf die Kriterien beim Beweis auswirkt und daher keinen Ansatz. Vielleicht hat jemand ja einen Tipp, der mir vielleicht zeigt, was ich nicht sehe, ehe ich das einfach trivial nach Definition durchrechne.

Comments

Die Ordnung spielt dahingehend eine Rolle, dass sie deine Elemente charakterisiert. Wie willst du sonst es trivial nachrechnen??

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Naja, wenn ich einfach so meine vorhandenen Kriterien durchgehe, sehe ich nicht wie ich meine Ordnung dort einbauen soll, wie sie mein g∈G chrakterisiert. Versteh mich nicht falsch, ich weiß was die Ordnung eines Gruppenelements ist, aber wie bringe ich das zum Ausdruck im Zusammenhang mit dieser Aufgabe? Mit trivial meine ich, dass ich sonst einfach die Definition nachpinseln würde :D

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Mach doch mal dann wirst du sehr schnell drüber stolpern.

Answer 1

ord(g) ≤ 2 heißt doch nur 1 oder 2

1 gibt das neutrale El. und für ein g mit ord(g) = 2 gilt  g^2 = e

wenn du zwei davon hast  g und h ist  g^2=e und h^2=e also ist  (g*h)^2 = g*h*g*h

und da G abelsch ist     = g*g*h*h = e*e = e also hat auch g*h Ordnung ≤ 2.

Die betrachtete Menge U ist also abgeschlossen.

Der Rest überträgt sich von G.

Comments

Schade, dass das doch nicht ganz so einfach ist.

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Die Ordnung eines Gruppenelements g besagt die kleinste nnatürliche Zahl n mit g^n = e, wobei e das neutrale Element der Gruppe darstellt

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Ich denke, ich habe es fertig bekommen. Man muss noch zeigen, dass das Inverse eines Elementes die selbe Ordnung besitzt, wie das betrachtete Element. Das ganze noch Ordentlich in die Kriterien verpacken! Ich danke für die Hilfe!

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Was fehlt bei der Antwort noch?

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Dass das Inverse die gleiche Ordnung hat!

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Ist das nicht trivial?

Was meinte der Gast, dass es nicht ganz so einfach ist?

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Der Gast meinte, dass (ℕ₀ , +)  keine Untergruppe von (ℤ , +) ist.

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Also doch, dass die Inversen mit drin sind.

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Aber \( \mathbb{N}_0 \) geht auch nicht aus \( \mathbb{Z} \) hervor, wenn man aus letzterem alle Elemente mit Ordnung kleiner gleich zwei auswählt.

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Das sollte wohl nur heißen:

Abgeschlossenheit alleine reicht nicht, man muss auch zeigen, dasss zu

jedem Elö. das Inverse auch in der Untermenge liegt.

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Das steht doch aber schon da. Das kann der Gast nicht gemeint haben.

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Es ist ganz und gar nicht trivial zu zeigen, dass die Inversen die gleiche Ordnung haben, wenn auch nicht sonderlich schwer zu zeigen:

g² =e ⇔ (g²)^-1 g² = (g²)^-1 ⇔ e = (g^-2) ⇔ e = (g^-1)²

Ich stimme ja zu, dass das nicht schwer ist, aber ohne diesen kleinen Zusatz reicht es nicht.

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Also wenn ein Element sein eigenes Inverses ist, finde ich das trivial, dass es die gleiche Ordnung wie sein Inverses hat.

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Wenn im Übrigen dieser Einzeiler nicht trivial ist, was ist dann trivial?