Integralrechnung/Stammfunktion von e-funktionen (?) Bsp. f (x) = (2 - x)*e^x

Question

habe folgende Aufgabe, bei der ich wirklich gerne den Rechenweg wissen würde:

f (x) = (2 - x)*e^x

3) Ermitteln Sie für 0 </= z < 2 den Inhalt A (z) der zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [0; z] eingeschlossenen Fläche in Abhängigkeit von z.

Lösung: A(z) = (3 - z)*e^z -3

Answer 1

f(x) = e^x·(2 - x)

F(x) = e^x·(3 - x)

A(z) = F(z) - F(0) = e^z·(3 - z) - e^0·(3 - 0) = e^z·(3 - z) - 3

Answer 2

f (x) = (2 - x)*e^x

Comments

Wow, vielen lieben Dank für deine Mühe! Das hilft mir sehr für die schreibweise :)

Answer 3

 

Die Funktion hat nur die Nullstelle x=2 und die liegt nicht in [0 , z],  G_f liegt dort oberhalb der x-Achse.

A =  ₀∫^z (2-x) · e^x dx = [ e^x • (3-x) ]₀^z = e^z • (3 -z) - ( e⁰ • (3-0) = e^z • (3 -z) - 3

Die Stammfunktion F(x) = e^x • (3-x) erhältst du durch partielle Integration:

∫ u • v' = u • v - ∫ u' • v

u = 2-x → u' = -1  ,   v' = e^x → v = e^x 

→ ∫ (2-x) e^x dx = -e^x • (x-2) - ∫ (-1) • e^x dx  = -  x • e^x + 2e^x + e^x = e^x • (3 - x) 

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die Antwort, allerdings verstehe ich noch nicht warum  -e^x • (x-2) - ∫ (-1) • e^xBzw. bei -e^x  das Minus entsteht?Nochmals vielen lieben Dank und schöne Grüße!

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Habe statt  u • v = e^x • (2-x)  = -e^x • (x - 2) geschrieben. Gibt eigentlich keinen  Grund dafür.