Rang vom Matrix A in Abhängigkeit von a

Question

Weiß jemand vielleicht wie ich den Rang einer Matrix ausrechne, wenn A so aussieht :

Answer 1

Hi,
Du kannst die Determinante der Matrix \( A \) ausrechnen und es ergibt sich $$ \det(A) = (a-1)^4(a+4)  $$ Es gilt \( \det(A) = 0 \) für \( a = 1 \) und \( a = -4 \)
Also ist der Rang der Matrix 5 für \( a \ne 1 \) und \( a \ne -4 \)
Für \( a = 1 \) ist der Rang der Matrix \( 1 \) und für \( a = -4 \) ist der Rang der Matrix \( 4 \) wie man nachweisen kann, in dem man die Matrix für \( a = -4 \) auf Zeilen-Stufen-Form bringt.

Comments

Hallo

Dankeschön! Warum rechnet man hier det(A)? Braucht man das für den Rang?

---

Wie hast du die determinante gerechnet? Gibt es eine allgemeine Formel, das wird ja mit la Place sehr aufwendig!

---

Hi,

ich habe einfach mal die Determinate ausgerechnet um zu sehen ob sie vielleicht für alle \( a \) ungleich Null ist und dann ist das obige Ergebnis heraus gekommen, allerdings mit einem CAS Programm. Wobei man den Fall \( a = 1 \) gleich gesehen hat und man auch da sofort den Rang der Matrix sieht.

Für den Fall \( a = -4 \) musst Du wohl die Matrix auf Zeilen-Stufen-Form bringen. Mit den üblichen Umfprmungen.

Du kannst aber auch gleich mit der Zeilen-Stufen-Form beginnen, dann sollte das Gleiche herauskommen.

---

Okay danke, ich habe es versucht aber da kam das raus:

⟨ a     1      1        1       1

 1      a      1        1       1

 0   (1-a)  (a-1)    0       0

 0     0     (1-a)  (a-1)    0

 0     0       0      (1-a)  (a-1)⟩

Aber damit konnte ich auch nichts anfangen, ist das überhaupt richtig so?