Beispiel gesucht Vektorraum V und lineare Abbildung f : V -> V ....

Question

4Beispiel für einen Vektorraum V und lineare Abbildung V -> V so dass gilt:

Kern (f) = Bild (f) , und V ≠ {0}

Vektorraum Polynome v. Grad ≤ 3

T⁰, T¹, T², T³ Basis von V, dim(V) = 4

Rangsatz :

dim(V)= dim(Kern(f)) + Rg(f)

dim(V)=dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))

f(e1) = 0 ; f(e2) = 0 ; f(e3) = e3 ; f(e4) = e4

-> f(T⁰) = 0 ; f(T¹) = 0 ; f(T²) = T² ; f(T³) = T³

Kern(f) = [1 , T]

(eckige klammern sollen lineare Hülle bedeuten)

dim(Kern(f)) = 2

dim(V) - dim(Kern(f) = dim(Bild(f))

4-2 = 2

f(v) = 0, 0, T², T³

es folgt: Kern(f) ∩ Bild(f) = {0}  und v ≠ {0}

Ist das richtig so oder muss ich es ändern?? Lg und danke

Comments

Vielleicht macht's auch die lineare Abbildung$$f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2,\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}y\\0\end{pmatrix}.$$

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Shit sorry ich meinte eigentlich:

f(e1)= e3; f(e2)=e4 ;  f(e3)=e1; f(e4)=e2

f(v)= T², T³, T⁰, T¹

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sozusagen Kern(f) = Bild(f)

und Bild(f) = Kern(f)

Geht das auch ?

Und sag mal es muss dann eigentlich heissen:

f(v)= T² + T³ + T⁰ + T¹

Oder??