Grenzwert einer Exponentialreihe berechnen

Question

Hausaufgabe 1
Finden Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.

(a) \( \quad \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-2)^{k}}{3^{k+1}} \)

(b) \( \quad \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k+2}}{(k-1) !} \)

Hinweis: Benutzen Sie für (a) die geometrische Reihe und für (b) die Exponentialreihe.

 a) ∑_k=0 -2^k+1/3^k+2 ->  ∑_k=0 -2^k/3^k  * -2/3²  -> -2/3² *∑_k=0 (-2/3)^k   → q= -2/3 in Grenzwert s= 1/(1-q) -> 1/(1-(-2/3))=1/5/3 = 3/5

->-2/3²* 3/5= -6/45 = -2/15 richtig?

bei b) komm ich nicht weiter ∑_k=0 3^k+3/k! -> 3³ * ∑_k=0 3^k/k! weiter weiß ich nicht, Exponentialreihe ist doch ∑_k=0 x^k/k!, aber wie berechne ich jetzt die Konvergenz bei sowas?

Comments

Preisfrage: Was liefert die Exponentialreihe wohl, wenn man x=3 einsetzt?

---

Konvergenzradius r=∞ und deswegen konvergiert das für jedes x, also auch 3?

---

War die Frage nicht, gegen welchen Wert die Exponentialreihe für x=3 konvergiert?

---

oh ja und wie bekomme ich das hin? Für die exponentialreihe habe ich keinen summenwert gefunden? für eine geometrische reihe ist es ja 1/(1-q), für die exponentialreihe finde ich nichts >.<

---

kann ich anstatt  ∑_k=0 3^k/k! auch  lim(1+x/n)^n benutzen? das wäre dann ja =1 und dann noch mal 3^3 also = 27?

---

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\quad\text{fuer alle $x$}$$

Answer 1

bei b) komm ich nicht weiter ∑_k=0 3^k+3/k! -> 3³ * ∑_k=0 3^k/k! weiter weiß ich nicht,

Exponentialreihe ist doch ∑_k=0 x^k/k!, aber wie berechne ich jetzt die Konvergenz bei sowas?

Du hast es doch schon fast fertig. Es geht doch um:

∑_k=1 3^k+2/(k-1)!   = ∑_k=0 3^k+3/k!  = 3³ * ∑_k=0 3^k/k!  

und die letzte Reihe ist doch die e-Reihe halt nur 3 statt x, also

= 3^3 * e^3 = 27e^3   ist das Ergebnis.

Comments

Ahh Danke ^^, ich wusste das ∑_k=0 1/k!  = e ist, aber auf e^x bin ich aus irgendeinem grund gar nicht drauf gekommen