Ansatz - Exponentialreihe - x Elemente von IR bestimmen von exp(-xz)/x^2

Question

Guten Tag MatheLounge,

sitze zurzeit an einer Aufgabe jedoch komme ich gar nicht weiter.

Ich soll von der Reihe $$ \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{exp(-xz)}{x^2}$$ alle x Elemente von IR bestimmen für die Sie konvergiert.
Wie soll ich hier vorgehen ?

BlackFrost

Comments

e^-xz/x² ist nicht von n abhängig, steht das tatsächlich so in der Aufgabe?

Beste Grüße
gorgar

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Ja, habs nochmal überprüft.
bzw. $$\sum_{exp(-nx}^{n^2}$$

BlackFrost

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Korrektur: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{exp(-nx)}{n^2}$$

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Das wäre der Ansatz. Anstelle des Exponenten 5 meinst Du bestimmt 2.

e^(n+1)x / (n+1)²  • n²/e^-nx 

Das Ganze sortieren und Potenzregeln anwenden.
Ich poste gleich die Antwort, Du brauchst ja noch nicht zu gucken und stattdessen selbst versuchen.

:-)

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$$\frac{exp(-(n+1)x)*n^5}{(n+1)^5*exp(-nx)}$$

hänge hier zurzeit fest bzw. weiß nicht wie ich weiterrechnen soll.

BlackFrost

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Oh, das Kommentar ist an die falsche Position geraten, ich wiederhole es hier noch einmal

Das wäre der Ansatz. Anstelle des Exponenten 5 meinst Du bestimmt 2.

e^(n+1)x / (n+1)²  • n²/e^-nx 

Das Ganze sortieren und Potenzregeln anwenden.
Ich poste gleich die Antwort, Du brauchst ja noch nicht zu gucken und stattdessen selbst versuchen.

:-)

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Habe es jetzt verstanden :)
Vielen Dank gorgar!

BlackFrost

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Supie! :-)

gorgar

Answer 1

Hallo BlackFrost, die Reihe konvergiert für alle x > 0.

Edit: Die Reihe konvergiert auch für x=0. Denn für x=0 steht in der Summe 1/n² und die Reihe ∞∑_n=0 1/n² ist eine konvergente, allgemeine harmonische Reihe mit dem Grenzwert π²/6. Danke nn!

Comments

Nicht für x = 0 ?

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Du hast Recht, für x = 0 müsste man die Reihe gesondert untersuchen. Ich werde das gleich mal ergänzen.

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Vielen Dank gorgar!
Ich versuche es nachzuvollziehen.

BlackFrost :)

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Gerne! Siehe auch das Kommentar von nn und die daraufhin erfolgte Ergänzung in der Antwort.

gorgar