Wie bestimmt man eine Ableitung mit dem Differenzenquotienten

Question

Ich brauche hierbei Hilfe. Ich muss mit dem Differenzenquotient die Ableitung f' finden und anschließend die Lösung mit direktem Ableiten verifizieren.

Soweit bin ich gekommen:

$$ f(x) = (x^2+1)^7 + 4\sqrt { 3x^2+5 }  $$

$$ \lim_{x -> x_0}  \frac { (x^2+1)^7 + 4\sqrt { 3x^2+5 } - (x_0^2+1)^7 - 4\sqrt { 3_0x^2+5 }} {x-x_0}  $$

$$ \lim_{x -> x_0}  \frac { 4\sqrt { 3x^2+5 } - 4\sqrt { 3_0x^2+5 }} {x-x_0} + \lim_{x -> x_0} \frac { (x^2+1)^7 - (x_0^2+1)^7 }{ x-x_0 } $$

Wie geht es jetzt weiter? Ich habe absolut keinen Plan mehr

Answer 1

Links dritte binomische, rechts ausmultiplizieren und Polynomdivision machen.

Comments

Fuer das Polynomdingens kannst Du auch die Kettenregel faken: $$\frac{(x^2+1)^7-(x_0^2+1)^7}{x-x_0}=\frac{y^7-y_0^7}{y-y_0}\cdot\frac{x^2+1-(x_0^2+1)}{x-x_0}$$ mit \(y=x^2+1\) und \(y_0=x_0^2+1\). Vereinfacht die Sache erheblich.

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Steht da nicht   A = A • B   mit B≠1 ?

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Noe. Da steht $$\frac{\Delta z}{\Delta x}=\frac{\Delta z}{\Delta y}\cdot\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ wie im Beweis zur Kettenregel.

Answer 2

links kannst du 4 ausklammern und mit  √(3x²+ 5) + √(3x₀² +5) erweitern und dann die 3. binomische Formel anwenden

Grenzwert = 12·x₀ / √(3·x₀² + 5)

Rechts ist x₀ eine Nullstelle des Zählers, eine Polynomdivision "geht also auf":

Ich setze x₀ = a und mein Rechner liefert als Ergebnis:

x^13 + a·x^12 + x^11·(a^2 + 7) + a·x^10·(a^2 + 7) + x^9·(a^4 + 7·a^2 + 21) + a·x^8·(a^4 + 7·a^2 + 21) + x^7·(a^6 + 7·a^4 + 21·a^2 + 35) + a·x^6·(a^6 + 7·a^4 + 21·a^2 + 35) + x^5·(a^8 + 7·a^6 + 21·a^4 + 35·a^2 + 35) + a·x^4·(a^8 + 7·a^ 6 + 21·a^4 + 35·a^2 + 35) + x^3·(a^10 + 7·a^8 + 21·a^6 + 35·a^4 + 35·a^2 + 21) + a·x^2·(a^10 + 7·a^8 + 21·a^6 + 35·a^4 + 35·a^2 + 21) + x·(a^12 + 7·a^10 + 21·a^8 + 35·a^6 + 35·a^4 + 21·a^2 + 7) + a·(a^12 + 7·a^10 + 21·a^8 + 35·a^6 + 35·a^4 + 21·a^2 + 7)

→  (für x→a)  gegen 

 14·a·(a¹² + 6·a¹⁰ + 15·a⁸ + 20·a⁶ + 15·a⁴ + 6·a² + 1) = 14a • (a² +1)⁶

Für den Gesamtgrenzwert des Differenzenquotienten liefert der Rechner:

f ' (a) = 2·a·(7·(a² + 1)⁶·√(3·a² + 5) + 6) / √(3·a² + 5)

Wer stellt solche Aufgaben?

Gruß Wolfgang