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Ich brauche hierbei Hilfe. Ich muss mit dem Differenzenquotient die Ableitung f' finden und anschließend die Lösung mit direktem Ableiten verifizieren.

Soweit bin ich gekommen:

$$ f(x) = (x^2+1)^7 + 4\sqrt { 3x^2+5 }  $$

$$ \lim_{x -> x_0}  \frac { (x^2+1)^7 + 4\sqrt { 3x^2+5 } - (x_0^2+1)^7 - 4\sqrt { 3_0x^2+5 }} {x-x_0}  $$

$$ \lim_{x -> x_0}  \frac { 4\sqrt { 3x^2+5 } - 4\sqrt { 3_0x^2+5 }} {x-x_0} + \lim_{x -> x_0} \frac { (x^2+1)^7 - (x_0^2+1)^7 }{ x-x_0 } $$

Wie geht es jetzt weiter? Ich habe absolut keinen Plan mehr

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Links dritte binomische, rechts ausmultiplizieren und Polynomdivision machen.

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Fuer das Polynomdingens kannst Du auch die Kettenregel faken: $$\frac{(x^2+1)^7-(x_0^2+1)^7}{x-x_0}=\frac{y^7-y_0^7}{y-y_0}\cdot\frac{x^2+1-(x_0^2+1)}{x-x_0}$$ mit \(y=x^2+1\) und \(y_0=x_0^2+1\). Vereinfacht die Sache erheblich.

Steht da nicht   A = A • B   mit B≠1 ?

Noe. Da steht $$\frac{\Delta z}{\Delta x}=\frac{\Delta z}{\Delta y}\cdot\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ wie im Beweis zur Kettenregel.

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links kannst du 4 ausklammern und mit  √(3x2+ 5) + √(3x02 +5) erweitern und dann die 3. binomische Formel anwenden

Grenzwert = 12·x0 / √(3·x02 + 5)

Rechts ist x0 eine Nullstelle des Zählers, eine Polynomdivision "geht also auf":

Ich setze x0 = a und mein Rechner liefert als Ergebnis:

x^13 + a·x^12 + x^11·(a^2 + 7) + a·x^10·(a^2 + 7) + x^9·(a^4 + 7·a^2 + 21) + a·x^8·(a^4 + 7·a^2 + 21) + x^7·(a^6 + 7·a^4 + 21·a^2 + 35) + a·x^6·(a^6 + 7·a^4 + 21·a^2 + 35) + x^5·(a^8 + 7·a^6 + 21·a^4 + 35·a^2 + 35) + a·x^4·(a^8 + 7·a^ 6 + 21·a^4 + 35·a^2 + 35) + x^3·(a^10 + 7·a^8 + 21·a^6 + 35·a^4 + 35·a^2 + 21) + a·x^2·(a^10 + 7·a^8 + 21·a^6 + 35·a^4 + 35·a^2 + 21) + x·(a^12 + 7·a^10 + 21·a^8 + 35·a^6 + 35·a^4 + 21·a^2 + 7) + a·(a^12 + 7·a^10 + 21·a^8 + 35·a^6 + 35·a^4 + 21·a^2 + 7)

→  (für x→a)  gegen 

 14·a·(a12 + 6·a10 + 15·a8 + 20·a6 + 15·a4 + 6·a2 + 1) = 14a • (a2 +1)6

Für den Gesamtgrenzwert des Differenzenquotienten liefert der Rechner:

f ' (a) = 2·a·(7·(a2 + 1)6·√(3·a2 + 5) + 6) / √(3·a2 + 5)

Wer stellt solche Aufgaben?

Gruß Wolfgang

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