Hilfe bei Ableitung mit Differentialquotienten

Question

Bräuchte ein wenig hilfe bei oben gezeigter Aufgabe - mir fehlt leider gottes ein wenig stoff. Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das angehen soll? arctan(x)' ist ja 1/(1-x^2) oder? Kann ich dann für das x einfach ln einsetzen, oder wie läuft das?

Answer 1

hab mal a gerechnet:

Comments

Sry wenn ich störe, aber die art von differenzierung hab ich noch nie gesehen - wie kommst du zum beispiel auf

f(x)' = y' = (dy/dz) * (dz/dx)?

Den teil verstehe ich nicht ganz - und was genau sind die werte dort?

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Hier geht es um die Anwendung der Kettemregel:

Innere Funktion: z=  ln(1+x^2)

Äußere Funktion: y= arc tan(z)

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Sicher den teil kenn ich ja auch. Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Aber ich peil immernoch nicht ganz, woher y' = (dy/dz) * (dz/dx) kommt - wenn dz die innere funktion ist, ist das nicht einfach dx?

Edit: ach halt, dz ist die ableitung der inneren funktion?

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ich habe Dir ein Link angehangen , vielleicht kennst Du es so:

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Tut mir leid wenn ich hier grad im leeren dappe - aber dann müsste die formel doch

f'(x) = 1 / (1 + ln(1+x^2)) * (2x / (x^2 +1))

lauten, oder? woher kommen dann dx, dy, dz? warum ist dy = 1 z.B? Tut mir leid wenn ich hier irgendwas komplett falsch verstehe.

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halt, das müsste unter dem linken bruch

ln(1 + x^2)^2

heißen, oder?

Also

f'(x) = 2x / ( ( 1 + ln(1 + x^2)^2 ) * (x^2 + 1) )

ist doch dann richtig

Answer 2

$$ \cfrac { d }{ dx } \arctan { (x)\quad =\quad \cfrac { 1 }{ 1+x² }  }  $$

Das ist die richtige Ableitung. Wenn du diese kennst, dann kannst du die Argumente von arctan(x) einfach darin einsetzen. Anschließend multiplizierst du mit dem Argument von arctan(x) und zwar ebenfalls abgeleitet. Wenn du also eine Funktion ableitest, die verkettet ist, macht man dies so:

d/dx f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) * g'(h(x)) * h'(x) * x'
x könnte auch wieder eine Funktion sein, zb x(t), dann würde man diese Produktfolge einfach analog fortsetzen.
da x einfach nur x ist, ist die Ableitung 1, also hat der Term x' keine Bedeutung mehr, da x nicht von weiteren Variablen in meinem Beispiel abhängt.

Somit dann:

$$\cfrac { d }{ dx } \arctan { (g(x))\quad =\quad \cfrac { 1 }{ 1\quad +\quad (g(x))² }  } *g'(x)$$

Comments

Wenn ich jetzt die beiden abgeleiteten funktionen kombiniere - was soll ich da tun? da ist ja ein x mal f(x) + g(x), wie sieht da die ableitung aus?

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Die Ableitung einer Summe ist die Ableitung der Summanden

( x f(x) + g(x) )' = ( x f(x) )' + g'(x)

und hier brauchst du dann die "Produktregel".

x =: h(x)

( f(x) h(x) )' = f'(x)*h(x) + f(x)*h'(x)

oder kurz

(uv)' = u'v+uv'