Fragen zur Kurvenuntersuchung!

Question

Hi, ich hätte da ein paar allgemeine Fragen:

1.) f(x)=  x²+6x+14

Gibt es eine Möglichkeit sofort festzustellen wie viele Nullstellen eine Funktion hat (falls überhaupt)?

Denn diese hat anscheinend keine, aber wie merkt man das aufm ersten Blick? Geht es auch mit Extremstellen ?

Bei dieser Funkttion ist die zweite Ableitung f''(x) = 2 wie stelle ich fest, ob bei eine Extremstelle (in diesem Beispiel -3) ein Hoch oder Tiefpunkt ist ?

2.) f(x) = x⁴ / 9 - 2x² + 8

Wie leitet man sowas ab? Wenn ein Bruch vorhanden ist?

3) - 1/16 ( x³ - 3x² - 9x -5)

Und gehe ich da vor ? Vor allem muss ich erst die Klammer loswerden (generell?) und dann erst die Ableitungen bilden?  Und was mache ich wenn ganz vorne bei einem x ein Minus vorhanden ist ?

Bsp ( - x² + 6x - 15)

Danke schon für eure Mühe :D

Answer 1

1.) f(x)=  x²+6x+14

Gibt es eine Möglichkeit sofort festzustellen wie viele Nullstellen eine Funktion hat (falls überhaupt)?

naja die guten taschenrechner wie der casio fx-991 sagen dir bei einer quadratischen funktion sofort die Nullstellen und auch den Scheitelpunkt. Ansonsten ist das nicht immer so einfach möglich. Kenntnisse über die Extrempunkte wären nötig.

Bei dieser Funkttion ist die zweite Ableitung f''(x) = 2 wie stelle ich fest, ob bei eine Extremstelle (in diesem Beispiel -3) ein Hoch oder Tiefpunkt ist ?

Wenn die zweite ableitung positiv ist ist krümmung im extrempunkt positiv bzw. linksgekrümmt und damit hast du einen Tiefpunkt.

2.) f(x) = x⁴ / 9 - 2x² + 8 

Schreibe es um: 

f(x) = 1/9 * x^4 - 2 * x^2 + 8

3) - 1/16 ( x³ - 3x² - 9x -5)

Klammer kann bleiben. Leite nur die Klammer ab.

f'(x) = - 1/16 (3x^2 - 6x - 9)

Und gehe ich da vor ? Vor allem muss ich erst die Klammer loswerden (generell?) und dann erst die Ableitungen bilden?  Und was mache ich wenn ganz vorne bei einem x ein Minus vorhanden ist ? 

Bsp ( - x² + 6x - 15)

Auch ein Minus bleibt als Faktor stehen.

- 2x + 6

Comments

Wenn die Klammer bleibt, wie gehe ich dann eigentlich weiter vor ? Nur das in der Klammer =0 setzten :-/ kann mir das kein Vorgang vorstellen.

Ich hatte gerade ein Beispiel wo mit der pq-Formel bei + & - auf der Wurzel zwei mal eine 3 rauskam.

habe ich dann nur x₂₌ 3 oder auch noch ein x₃=3 wenn bei +/- das gleiche rauskommt ?

Mfg

Btw: Ich habe einen Texas TI-82 Stats keine Ahnung wie gut er ist^^

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Wenn die Klammer bleibt, wie gehe ich dann eigentlich weiter vor ? Nur das in der Klammer =0 setzten :-/ kann mir das kein Vorgang vorstellen.

Ja genau. Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Ein konstanter Faktor wird nie Null. Also kann nur die Klammer null werden.

du schreibst dann x_2/3 = 3 (doppelte Nullstelle)

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Bei f(x)= - 1/16 ( x³ - 3x² - 9x -5) wäre also x₁= + 1/16 und dann die Klammer =0 setzten oder?

Wie mache ich es bei  x³ - 3x² - 9x -5 weiter ? Ich kann da ja kein x herausheben

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1/16 wird nicht null. da gibt es keine Nullstelle

x^3 - 3·x^2 - 9·x - 5 = 0

Mache eine Wertetabelle im Bereich [-5; 5]. Das gibt die Nullstelle 5 und -1. Mache damit das Horner Schema oder Polynomdivision

(x^3 - 3·x^2 - 9·x - 5) / (x - 5) = x^2 + 2·x + 1

(x^2 + 2·x + 1) / (x + 1) = x + 1

Du hast also eine Nullstelle bei -5 und eine doppelte bei -1.

Answer 2

1.) Ja die maximal möglichen Nullstellen einer Funktion ist gleich die höchste Potenz eines x-Wertes der funktion (hier 2) Heißt aber nicht , dass die Funktion immer 2 Nullstellen hat (wie gesagt maximal möglich)

Bei deiner Funktion sieht man sofort, dass sie keine Nullstellen haben kann, da alle Terme der Funktion plus gerechnet werden. Dies ist bei quadratischen Funktion Hinweis, dass es keine Nullstellen gibt.

Extremstellen, also Hoch- oder Tiefpunkt kannst du nicht direkt der Funktion entnehmen, dafür musst du ableiten und 0-setzen. Aber die Anzahl der maximal möglichen Extrema ist wieder der Grad der Funktion (also die höchste Potenz von x) -1

Wenn du f ''(x)= 2 hast, liegen ausschließlich Tiefpunkte vor.

2.)

x⁴ / 9 entspricht ja 1/9 * x⁴ . Das solltest du ableiten können.

3.)

Hier brauchst du nur die Klammer ableiten. Die kann in der Ableitung stehen bleiben!

Bei -x²  musst du einfach -x * 2 rechnen. Das - bleibt also

Comments

Also ein Bruch immer umschreiben, gibt es da auch eine andere Variante ?

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Ja, gibt es. Bei solchen einfacheren Brüchen würde ich immer umschreiben. 

Ansonsten wenn du mal sowas hast wie (x⁴ - 2)/ x. Dann musst du die Quotientenregel anwenden.

Die geht so f(x)= u/v     ( u und v beschreiben jeweils Terme).

f '(x)=((u' *v)-(v' *u))/v²

In meinem Beispiel wäre das dann f '(x)= ((4x³ * x)-(x⁴-2))/ x²  = (3x⁴ +2 ) / x² 

Die wirst du aber sicher noch in der Schule lernen ;) 

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Auch wenn ich  f(x) = x⁴ / 9 - 2x² + 8 umschreibe komme ich nicht weiter, ich nehme dann *9 aber ich kann keine pq-Formel anwenden weil da ein x⁴-18x²+8=0 rauskommt und auch nichts herausheben

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Geht es dir um die Nullstellen der Funktion oder der Ableitung der Funktion?Bei den Nullstellen der Funktion ist deine Funktion ein schlechtes Beispiel, da sie eine ungerade Nullstelle mit vielen Nachkommastellen hat x≈ 3,464 . Normal würde man durch Ausprobieren von Werten für x eine Nullstelle bestimmen. Man setzt zb ganzzahlige Werte im kleinstelligen bereich ein und schaut ob die Funktion 0 wird. Hat hat eine gefunden, kann man eine Polynomdivision machen. Vielleicht ist das dir ja ein Begriff. Ansonsten kann man die Funktion zeichnen und die Nullstellen grafisch bestimmen.
~plot~1/9*x^4-2*x^2+8~plot~

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Wenn du so fragst dann eigentlich um beides ^ ^ weil ich wusste nicht wie ich von

x⁴ / 9 - 2x² + 8  I *9

x⁴-18x²+8=0 weiter rechnen soll um die Nullstellen herauszufinden, also muss ich im Grunde ratten? (das Beispiel war im Buch und ich wusste da nicht weiter)

ist f '(x) =  4/9 x³-4x richtig abgeleitet ?

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Ja super! Du hast richtig abgeleitet. Also du musst nur eine  erraten bzw. erproben. Das Verfahren nennt sich Polynomdivision. Hier würde ich es aber grafisch lösen, also den Graph zeichnen. Ansonsten kann man es oft mit dem Taschenrechner lösen, wenn man da die Funktion eingibt und 0 setzt. Sonst hast du in der Schule eher selten Polynom 4ten Grades bei denen die Nullstellen so krumm wie in dem Beispiel sind ;)

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Ich wie wie ich bei meinem TS Texas TI 82 Stats die Funktion eingebe und den Graphen auch noch zeichnen lassen kann, aber wie setzte ich es dann 0?

Könnte ich die Nullstellen bei so einer Funktion auch mit dem TS rechnen?

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ich kenne zwar nicht die Funktionen deines Taschenrechners,aber wenn er schon den Graph visulaisieren kann, also auch eine grafische Oberfläche hat, dann sollte er auch die nullstellen errechnen können. Du kannst ja mal ein bisschen suchen oder in die Bedienungsanleitung schauen. Selbst mein Casio-Rechner, welcher nicht grafisch arbeitet, kann die Nullstellen bestimmen.